7.3. Dvojskupinová metoda výpočtu reaktoru s reflektorem lepšího přiblížení ke skutečnosti při výpočtu reaktoru s reflektorem dosáhneme, když neutrony rozdělíme na dvě skupiny - rychlou a tepelnou (označení indexy "1" a "2„) v tomto případě máme tedy n=2 a N=2, takže počet diferenciálních rovnic popisujících rozložení hustot toků neutronů v reaktoru je Nn=4

Obr. 7.3 – Schéma pro formulaci výchozích rovnic pro dvě skupiny neutronů v reaktoru s reflektorem k¥ - koeficient násobení v aktivní zóně Sz1 , Sr1 - makroskopický účinný průřez pro zpomalení v aktivní zóně a reflektoru Sz2 , Sr2 - makroskopický účinný průřez pro absorpci tepelných neutronů v aktivní zóně a reflektoru z1 , z2 - hustota toku rychlých a tepelných neutronů v aktivní zóně r1 , r2 - hustota toku rychlých a tepelných neutronů v reflektoru Sz1z1 - počet tepelných neutronů vzniklých v jednotce objemu za jednotku času k¥Sz2z2 - počet rychlých neutronů vzniklých štěpením v jednotce objemu za jednotku času

7.3.1. Hustota toku neutronů v aktivní zóně Formulace rovnic Pro reaktor v ustáleném stavu mají rovnice difúze v aktivní oblasti tvar: rovnice jsou nehomogenní homogenní části těchto rovnic mají tvar vlnových rovnic. Pro hustoty toku z1, a z2 platí rovnice: Předpoklad: rychlé i tepelné neutrony mají stejné prostorové rozložení

Řešení rovnic difúze pro má parametr B2 tvar vlnové rovnice Řešení rovnic difúze pro má parametr B2 tvar vlnové rovnice. Pokud za z1 dosadíme výraz -B 2z1 a za z2 výraz -B2z2 dostaneme rovnice: Řešení těchto rovnic bude netriviální právě když determinant vytvořený z koeficientů bude nula: kritická rovnice pro aktivní zónu: Po úpravě:

Platí: a kde tz je stáří tepelných neutronů a Lz je difúzní délka v aktivní zóně Po úpravě dostáváme kritickou rovnici reaktoru bez reflektoru určenou podle dvojskupinové difúzní teorie : resp. Řešením této rovnice vzhledem k B2 dostaneme dva kořeny:

- obecná řešení rovnic difúze obsahují lineární kombinace funkcí závisících na veličinách m2 a -2, které jsou určeny jen vlastnostmi materiálů aktivní zóny. - při výpočtech holého reaktoru se používá jen první řešení laplasiánu m2 2) Rozložení hustoty toku neutronů a vazební koeficienty v aktivní zóně řešení pro hustotu toku neutronů v aktivní oblasti, která odpovídají dvěma hodnotám laplasiánu m2 a -2, označíme symboly X a Y Vlnové rovnice pak budou mít tvar: tvar řešení těchto rovnic je závislý na geometrii reaktoru budeme zkoumat jen případy, které se vlivem souměrnosti redukují na funkci jedné proměnné

Rovnice jsou obecným řešením, proto můžeme připustit i řešení Tab.7.2 - Řešení vlnových rovnic pro hustotu toku neutronů v aktivní zóně Obecná řešení rovnice difúze jsou dána lineární kombinací funkcí X a Y: Mezi konstantami A, A' a C, C' existuje souvislost  jen dvě konstanty jsou nezávislé. Rovnice jsou obecným řešením, proto můžeme připustit i řešení z1=AX a z2=A'X

Vztah mezi konstantami A a A' získáme dosazením do druhé difúzní rovnice za z1=AX, za z2=A'X a za z2=-m2A'X. Difúzní rovnice potom bude mít tvar: Poměr konstant A’/A značíme S1 a nazýváme jej vazební koeficient: Podobným způsobem můžeme určit poměr konstant Do první difúzní rovnice dosadíme fz1=CY, za fz2=C'Y a za fz2=n2C'Y. Potom:

Vazební koeficienty závisí na materiálových vlastnostech aktivní zóny, tj. nejsou libovolné. Obecné řešení difúzních rovnic pro aktivní zónu můžeme vyjádřit takto:

7.3.2. Hustota toku neutronů v reflektoru Formulace rovnic Rovnice difúze pro reflektor, který je nenásobícím prostředím mají podle dvojskupinové metody tvar: zavedeme kr12 =Sr1 /Dr1 =1/tr a kr22 =Sr2 /Dr2 = 1/Lr2, rovnice potom budou mít tvar: první z rovnic je homogenní - řešením je funkce Z1 druhá rovnice je nehomogenní, ale její homogenní část má stejný tvar jako první rovnice - její řešení označíme symbolem Z2

2) Rozložení hustoty toku neutronů a vazební koeficienty v reflektoru Obecné řešení rovnice pro hustotu toku rychlých neutronů v reflektoru: a pro tok tepelných neutronů: F,G - libovolné konstanty Sr - vazební koeficient reflektoru

Koeficient Sr určíme z druhé difúzní rovnice, veličinu r2 nahradíme výrazem Srr1 a za r1 dosadíme výraz . Člen GZ2 nemusíme ve vztahu pro r2 uvažovat, protože je řešením homogenní části rovnice a jeho příspěvek je nulový. Rovnice má potom tvar:  vazební koeficient reflektoru závisí jen na materiálových vlastnostech reflektoru

Pro tloušťku reflektoru včetně extrapolované délky platí: Obecná řešení pro hustotu toku neutronů obsahují funkce Zi (i=1,2) určené geometrií soustavy. V tab.7.3 jsou uvedeny tyto funkce pro reflektor tloušťky Tr a tloušťky, pro kterou můžeme reflektor považovat za nekonečný. Pro tloušťku reflektoru včetně extrapolované délky platí: Tab. 7.3 – Řešení vlnových rovnic pro hustotu toku neutronů v reflektoru

7.3.3. Kritická rovnice reaktoru s reflektorem Pro hustoty toku neutronů jednotlivých oblastí jsme dostali tyto vztahy: Aktivní zóna: Reflektor: Pro určení konstant A,C,F a G použijeme tyto podmínky spojitosti hustot toků neutronů na rozhraní aktivní zóny a reflektoru: spojitost hustoty toku rychlých neutronů spojitost hustoty toku tepelných neutronů spojitost hustoty proudu rychlých neutronů spojitost hustoty proudu tepelných neutronů

Označíme hodnoty veličin na rozhraní mezi aktivní zónou a reflektorem hranatou závorkou a čárkou jejich derivace, okrajové podmínky potom budou mít tvar: Dosazením vztahů pro hustoty toku neutronů dostaneme tyto rovnice:

Zavedeme nové veličiny r1 = Dr1 /Dz1, r2 = Dr2 /Dz2 Předchozí rovnice pak budou tvořit homogenní soustavu rovnic vzhledem ke konstantám A, C, F a G: To je soustava 4 homogenních rovnic. Aby soustava měla netriviální řešení, musí být determinant soustavy roven nule:

- tento determinant můžeme považovat za kritickou podmínku reaktoru s reflektorem v dvojskupinovém přiblížení, protože obsahuje skupinové konstanty i rozměry reaktoru. - odvozená kritická podmínka umožňuje při zadané koncentraci paliva nalézt rozměry aktivní zóny nebo pro zvolené rozměry systému nalézt složení aktivní zóny.

7.3.4. Výpočet kritického determinantu Řešení kritické rovnice: - počítáme hodnoty determinantu v závislosti na zvoleném kritickém parametru a potom vhodným iteračním postupem najdeme takovou hodnotu hledaného kritického parametru, aby byl determinant roven nule s požadovanou přesností Zjednodušení: - vezmeme v úvahu skutečnost, že mnohé z prvků, které tvoří determinant, závisí na změně koncentrace paliva nebo na rozměrech aktivní zóny jen málo Tuto vlastnost lze zjistit rozložením a úpravou determinantu.

První sloupec vydělíme funkcí [X], druhý [Y], třetí [Z1] a čtvrtý [Z2], dostaneme výraz: kde Determinant rozvineme podle čtvrtého sloupce, úpravách dostaneme vztah ve tvaru:

Pro válcový reaktor je funkce: v konkrétních případech veličina a' téměř nezávisí na koncentraci paliva, kterou zde reprezentuje laplasián m. pomocí předchozích vztahů vypočítáme hodnoty veličin a a a' pro různé hodnoty laplasiánu m a sestrojíme graf funkcí a a a' v závislosti na koncentraci paliva (obr.7.4). Průsečík těchto funkcí určuje kritickou koncentraci protože funkce a' je málo závislá na m, pro určení její závislosti na koncentraci paliva postačují pouze dva body funkce a'. Funkce a se značně mění s m, ale má poměrně jednoduchý tvar. Pro válcový reaktor je funkce: Obr. 7.4

7.3.5. Stanovení rozložení hustoty toku neutronů pokud známe integrační konstanty A, C, F a G, které vystupují ve vztazích pro hustoty toku neutronů, můžeme stanovit prostorové rozložení hustot toku neutronů ve zkoumaném reaktoru Předpoklad: složení aktivní zóny i její rozměry splňují kritickou podmínku konstanty A, C, F a G určíme ze soustavy čtyř rovnic se známými hodnotami funkcí na rozhraní mezi aktivní zónou a reflektorem. Jedna konstanta bude libovolná, a bude normovacím faktorem pro hustotu toku nebo výkon reaktoru Použitím prvních tří rovnic obdržíme řešení ve tvaru: kde

K tomuto způsobu vyjádření konstant je musíme uvést několik poznámek: konstanty jsou vyjádřeny pomocí stejných pomocných veličin, jakých bylo použito při výpočtu kritických rozměrů reaktoru když se konstanty dosadí do vztahů pro hustoty toku neutronů, dostaneme poměry funkcí k jejich hodnotám na rozhraní mezi aktivní zónou a reflektorem, je to výhodné zejména při vyčíslování hustoty toku neutronů pro velké hodnoty argumentů. např. 3. měřítko hustoty toku neutronů lze vybrat tak, aby hustota toku byla normovaná např. k jedné v centru aktivní zóny, tj. c = 1, nebo aby byla jednotková střední hodnota hustoty toku neutronů, tj.  = 1

aby byl v energetickém reaktoru zabezpečen dostatečný odvod tepla v místě s maximální hustotou toku neutronů a tím i v místě s maximálním uvolňováním výkonu, je zapotřebí zvolit vhodnou rychlost chladícího media aktivní zónou vztah vyjadřující poměr hustoty toku neutronů na rozhraní k střední hustotě toku je stejný pro všechny geometrie a má tvar: kde g = R/3 pro kouli, g = R/2 pro válec a g = H/2 pro desku ve výše uvedeném vztahu vyjadřuje střední hustotu toku neutronů v jednom směru aktivní zóny, při určování střední hodnoty v celé aktivní zóně je nutné respektovat i změnu hustoty toku v ostatních směrech

Výpočet rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru: funkce popisující rozložení ve válcovém reaktoru mají tvar: Poslední tři funkce nabývají na rozhraní aktivní zóny velmi velkých hodnot. Pro velké argumenty lze Besselovy funkce rozvinout, potom dostaneme:

Přibližná  řešení radiálního rozložení hustot toku neutronů budou mít tvar: v aktivní zóně: v reflektoru:

pomocí těchto vztahů můžeme bezprostředně stanovit radiální rozložení hustot toku neutronů v aktivní zóně s reflektorem v mnoha případech má hustota toku tepelných neutronů maximum vně aktivní zóny. Rychlé neutrony vznikající v aktivní zóně unikají z ní do moderátoru, ve kterém se zpomalují. Tepelné neutrony vznikající v moderátoru jsou méně absorbovány než v aktivní zóně, čímž dochází k nahromadění v blízkosti povrchu rozhraní. Tento jev se silně projevuje v reaktoru s lehkovodním moderátorem a beryliovým reflektorem. U tohoto seskupení aktivní zóny a reflektoru může být hodnota píku hustoty toku tepelných neutronů v moderátoru i několikrát vyšší než maximální hodnota hustoty toku v aktivní zóně.