6.1. Fermiho teorie stárnutí Předpoklady pro sestavení rovnice rovnováhy: prostředí je homogenní a izotropní makroskopické účinné průřezy pro absorpci jsou podstatně menší než makroskopické účinné průřezy pro rozptyl pro srovnatelně velké intervaly energie (tj. Sa << Ss) rozměry soustavy jsou mnohem větší než charakteristické délky neutronu v oblastech reaktoru, pro které se používá tato teorie, nejsou soustředěny zdroje ani absorbátory neutronů v oblastech se nenacházejí velké dutiny rozptyl neutronů je izotropní v těžišťové soustavě hmotnostní číslo moderátoru je mnohem větší než jedna

6.1.1. Rovnice rovnováhy neutronů při difúzi s účinkem zpomalování - chceme sestavit prostorově a energicky závislou rovnici rovnováhy neutronů, proto zavedeme funkce: - délka dráhy neutronů v jednotce objemu kolem bodu za jednotku času, jejichž letargie leží v intervalu u,u + du   - počet neutronů zpomalených na letargii u v jednotce objemu za jednotku času kolem bodu V elementárním objemu d budeme zkoumat neutrony s letargií v intervalu u,u + du

Ve stacionárním stavu může dojít ke zvětšení počtu neutronů: zpomalováním neutronů na letargii u, které přicházejí do du z oblasti nižších letargií generováním neutronů s letargií v intervalu du kolem u zdroji v objemu Ke zmenšení počtu: rozptylem neutronů s letargií v intervalu du v objemu , v důsledku kterého opouštějí interval du absorpcí neutronů jádry prostředí v du únikem neutronů s letargií v intervalu du z objemu Obr. 6.1 – K odvození rovnice v a du

Vzhledem k uvedeným principům můžeme rovnici rovnováhy neutronů pro jednotkový časový interval napsat: - počet neutronů s letargií v intervalu du kolem u, které jsou emitovány zdroji v jednotkovém objemu v okolí bodu za jednotku času, - počet neutronů s letargií v intervalu du kolem u, které unikají z jednotkového objemu v okolí bodu za jednotku času Koeficientem úměrnosti bude opět difúzní koeficient, takže konečný výraz pro únikový člen můžeme zapsat ve tvaru:

Dosazením předchozího vztahu do bilanční rovnice a použitím vztahu: dostaneme rovnici rovnováhy neutronů: Vztah mezi hustotou toku a hustotou zpomalení, který jsme obdrželi pro nekonečné prostředí, bude dobrou aproximací i pro tento případ:

6.1.2. Fermiho rovnice stárnutí Rovnice zpomalování a difúze jsou reprezentovány soustavou rovnic. Odpovídající rovnice pro nestacionární jednoskupinové rozložení hustoty toku mají pro tvar: Funkce je odpovídající hustota neutronů, která je určena počtem neutronů v jednotce objemu. Pokud použijeme obě rovnice pro hustotu toku a hustotu zpomalení a vynecháme zdrojový člen, dostaneme rovnice rovnováhy ve tvaru:

Lineární členy v těchto rovnicích můžeme eliminovat zavedením integračních faktorů v proměnné u a t, tzn. definováním dvou nových funkcí a : je hustota zpomalení v absorbujícím prostředí s účinným průřezem pro absorpci Sa a že exponenciální funkce: je pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu pro interval letargie (0,u)

Dosazením funkcí q( ,u) a n( ,t) do rovnic rovnováhy neutronů dostaneme: Tyto rovnice můžeme upravit na tvar rovnice vedení tepla, když zavedeme novou proměnnou t, která bude záviset na letargii následujícím způsobem a podobně novou proměnnou h:

V důsledku transformace u®t přechází na a podobně při t funkce přechází na . Aplikováním těchto transformací dostaneme: formálně představují rovnice vedení tepla první z rovnic se nazývá Fermiho rovnice stárnutí t …Fermiho stáří neutronů

6. 1. 3. Řešení Fermiho rovnice stárnutí s elementárními 6.1.3. Řešení Fermiho rovnice stárnutí s elementárními zdroji v nekonečném prostředí - počáteční podmínka: neutrony s letargií u=0 vznikají pouze v omezené oblasti prostoru I. Rovinný zdroj rychlých neutronů v nekonečném prostředí - rovinu zdroje ztotožníme s rovinou x = 0, jde o jednorozměrnou úlohu a Fermiho rovnice zpomalování a difúze přejde na tvar: Podmínky popisující zdroj: vydatnost zdroje je q0 neutronů na jednotku plochy za jednotku času pro x = 0 a t = 0 neexistují nikde žádné jiné zdroje kromě roviny x = 0

Třetí podmínka (c) vyplývá bezprostředně z definice veličiny q, která představuje hustotu zpomalení v prostředí bez absorpce. Hustotu v absorbujícím prostředí získáme ve tvaru: Fermiho rovnici můžeme zjednodušit použitím Laplaceovy transformace a{ } podle proměnné t. Definujme: kde parametr transformace s je reálná a kladná veličina. Počáteční podmínky (a) a (b) požadují pro všechny x ¹ 0 Použitím Laplaceovy transformace dostaneme: Obecné řešení má tvar:

Konstanty A a C jsou funkcemi transformační proměnné s Konstanty A a C jsou funkcemi transformační proměnné s. Tyto konstanty určíme pomocí podmínky (c), pro kterou je Laplaceova transformace: Dosazením obecného řešení dostaneme: Když x je kladné, C(s) se musí identicky rovnat nule, jinak by hustota zpomalení nebyla konečná pro všechny x > 0. Pak předcházející výraz bude A(s) = qo /(2 ) a můžeme psát ve tvaru: Inverzní Laplaceova transformace a-1{Q(x,s)} dává řešení Fermiho rovnice, které vyhovuje podmínkám pro zdroj. Řešení pro kladné i záporné hodnoty x:

Hustota zpomalení v prostředí s absorpcí bude: Diferenciální rovnice, která popisuje rozložení neutronů ze zdroje v závislosti na x a t je: Funkce n(x,h) musí vyhovovat podmínkám: pro h = 0 v x = 0 je vysláno qo neutronů v prostředí se nevyskytují žádné zdroje neutronů kromě pro h = 0 v x = 0

Je výhodné intenzitu zdroje vyjádřit pomocí funkce definované pro prostředí bez absorpce n(x,h): kde k2 º Sa/D a h = h(t) = Dut. Řešení této rovnice vyhovující podmínkám můžeme získat podobně jako v případě prostorově a energeticky závislé úlohy. Dá se ukázat, že

II. Bodový zdroj rychlých neutronů v nekonečném prostředí Označíme qbod(r,t) hustotu zpomalení způsobenou bodovým zdrojem ve vzdálenosti r od zdroje a qrov(x,t) hustotu zpomalení způsobenou rovinným zdrojem ve vzdálenosti x, potom můžeme psát: Odtud vyjádříme hodnotu qbod(r,t) pomocí qrov(x,t) zavedením proměnné r místo proměnné r Mezi proměnnými platí vztahy r2 = r2 + x2 a rdr = rdr  Derivací dostaneme vztah:

Pokud derivujeme vztah pro hustotu zpomalení od rovinného zdroje q(x,t) º qrov(x,t), dostaneme: Protože vzdálenost x ve funkci qrov(x,t) teď představuje vzdálenost mezi zdrojem a bodem, ve kterém určujeme hustotu zpomalení, můžeme ji nahradit symbolem r. Potom hustotu zpomalení v bodě r od bodového zdroje, který vysílá q0 neutronů za jednotku času q(r,t) º º qbod(r,t) získáme z předchozích vztahů. S respektováním absorpce bude mít tvar:

V případě, že bodový zdroj s vydatností q0 bude umístěn v bodě , pak hustota zpomalení v bodě určeném polohovým vektorem bude dána výrazem: Funkce qbod(r,t) (a podobně i qrov(x,t)) má dvě důležité vlastnosti a to: pro libovolnou hodnotu stáří má hustota zpomalení maximum v místě zdroje, tj. pro r = 0 (resp. x = 0 pro rovinný zdroj) pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu p(u) vždy snižuje hodnotu hustoty zpomalení pro dané r (resp. x)

Rozložení hustoty zpomalení v okolí bodového zdroje pro různé hodnoty stáří neutronů: Obr. 6.2

6.1.4. Fermiho stáří neutronů a jeho fyzikální význam Stáří neutronů je definováno vztahem: V integrálním tvaru tuto proměnnou můžeme vyjádřit rovnicí: Alternativní vyjádření stáří neutronů: tento vztah je oprávněný pouze v případech, kdy je v prostředí slabá absorpce, tj. kdy St Ss ve většině případů, kdy můžeme tuto teorii použít, dávají oba vztahy téměř stejné výsledky

Máme bodový zdroj umístěný v bodě r = 0 s jednotkovou vydatností v nekonečném prostředí, který produkuje neutrony s nulovou letargií. Hustota zpomalení od tohoto zdroje je určena rovnicí: Střední hodnotu čtverce vzdálenosti, do které se neutron dostane od místa vzniku - stáří t(u) = 0 až do místa, kde bude mít stáří t(u): - f(r,u)dr je pravděpodobnost, že neutron bude mít stáří t(u) v kulové vrstvě r,r+ dr. Tato pravděpodobnost je určena poměrem počtu neutronů se stářím t(u) v této kulové vrstvě k celkovému počtu neutronů se stářím t(u) v celém prostoru, potom:

Pokud takto vyjádřenou pravděpodobnost dosadíme do vztahu pro střední hodnotu čtverce vzdálenosti dostaneme: Lineární závislost na t(u) platí obecně. Koeficient úměrnosti je závislý na rozložení zdroje. Druhá odmocnina z Fermiho stáří se nazývá délka zpomalení neutronů. Fermiho stáří neutronů se rovná 1/6 střední hodnoty čtverce vzdálenosti, kterou neutron projde od okamžiku svého vzniku až do okamžiku, kdy se jeho stáří rovná (u).

EIn - energie indiové rezonance (1,44 eV)