Výpočty obvodů a obsahů rovinných obrazců MATEMATIKA Výpočty obvodů a obsahů rovinných obrazců

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-05-16_Planimetrie Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: I. Datum tvorby: 02. 2014 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Obvody a obsahy rovinných obrazců Co je pravidelný mnohoúhelník? Pravidelný mnohoúhelník má všechny strany a všechny vnitřní úhly shodné. Má-li pravidelný mnohoúhelník n stran, mluvíme o pravidelném n-úhelníku. (je-li n = 3 jedná se o rovnostranný trojúhelník, je-li n = 4 jedná se o čtverec). Při výpočtu obvodů a obsahů pravidelných mnohoúhelníků využíváme toho, že každý pravidelný mnohoúhelník můžeme rozdělit na n shodných rovnoramenných trojúhelníků, které se nepřekrývají a jejichž vrchol proti základně leží ve středu n-úhelníku.

Obvody a obsahy rovinných obrazců Př.: Určete obsah pravidelného šestiúhelníku o straně a. 𝐏𝐫𝐚𝐯𝐢𝐝𝐞𝐥𝐧ý š𝐞𝐬𝐭𝐢ú𝐡𝐞𝐥𝐧í𝐤 𝐣𝐞 𝐫𝐨𝐳𝐝ě𝐥𝐞𝐧 𝐧𝐚 𝟔 𝐬𝐡𝐨𝐝𝐧ý𝐜𝐡 rovnoramenných ∆ 𝐬𝐞 𝐬𝐩𝐨𝐥𝐞č𝐧ý𝐦 𝐯𝐫𝐜𝐡𝐨𝐥𝐞𝐦 𝐒. Řešení: 𝐸 𝐷 𝑂𝑏𝑠𝑎ℎ š𝑒𝑠𝑡𝑖úℎ𝑒𝑙𝑛í𝑘𝑢 𝑣𝑦𝑝𝑜čí𝑡á𝑚𝑒 𝑡𝑎𝑘, ž𝑒 𝑣𝑦𝑝𝑜čí𝑡á𝑚𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜ℎ𝑜 ∆, 𝑎 𝑡𝑒𝑛 𝑣𝑦𝑛á𝑠𝑜𝑏í𝑚𝑒 š𝑒𝑠𝑡𝑖. 𝑆 𝐹 𝐶 360° :6=60° 60° ? 𝑎 𝑎 𝐴𝑆 = 𝐵𝑆 𝛼=𝛽 ∆ 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑛ý 60° 60° 𝑆 ∆ = 𝑎 2 3 4 𝐴 𝑎 𝐵 𝑂𝑏𝑠𝑎ℎ 𝑐𝑒𝑙éℎ𝑜 š𝑒𝑠𝑡𝑖úℎ𝑒𝑙𝑛í𝑘𝑢 𝑗𝑒 𝑺=6∙ 𝑎 2 3 4 = 𝟑 𝟐 𝒂 𝟐 𝟑

Obvody a obsahy rovinných obrazců Záhon má tvar pravidelného pětiúhelníku, jehož strana má délku 1,2 m. Určete jeho obsah. Př.: Řešení: 1,2 m 1,2 m 360° :5=72° 𝑡𝑔 36°= 0,6 𝑣 𝑣= 0,6 𝑡𝑔 36° =0,83 𝑚 𝑆 𝑆 ∆ = 𝑎∙ 𝑣 𝑎 2 = 1,2∙0,83 2 =0,498 𝑚 2 1,2 m 72° 36° 1,2 m 𝑣 0,6 𝑚 𝑆=5∙ 𝑆 ∆ =5∙0,498≐2,5 𝑚 2 1,2 m Obsah záhonu je 2,5 𝑚 2 .

Obvody a obsahy rovinných obrazců Kolik procent obsahu pravidelného šestiúhelníku tvoří obsah jemu vepsaného kruhu. Poloměr vepsaného kruhu je 3,5 dm. Př.: Řešení: 𝑆 1 =𝜋 𝑟 2 =𝜋∙ 3,5 2 =38,465 𝑑𝑚 2 𝑆 3,5 𝑑𝑚 𝑎 2 = 𝑎 2 2 + 3,5 2 𝑆 2 =6 4∙3,5 2 =42 𝑑𝑚 2 𝑎 2 = 𝑎 2 4 +12,25 100 %………42 𝑑𝑚 2 𝑥 %………38,465 𝑑𝑚 2 𝑆 3 𝑎 2 =49 𝑥= 38,465∙100 42 =91,6 % 𝑎 3,5 𝑑𝑚 𝑎=4 𝑑𝑚 𝑎 2 Obsah kruhu tvoří 91,6 % obsahu opsaného šestiúhelníku.

Obvody a obsahy rovinných obrazců Jakou hmotnost má 200 součástek tvaru pravidelného desetiúhelníku o straně 2 cm, je-li hmotnost 1 𝑚 2 plechu, z něhož jsou vyrobeny 24 kg? Př.: Řešení: 𝑃𝑙𝑜𝑐ℎ𝑎 1𝑠𝑜𝑢čá𝑠𝑡𝑘𝑦 (𝑑𝑒𝑠𝑒𝑡𝑖úℎ𝑒𝑙𝑛í𝑘𝑢): 𝑆=10∙ 𝑆 ∆ 360°:10=36° 𝑡𝑔 18°= 1 𝑣 𝑣= 1 𝑡𝑔 18° =3,1 𝑐𝑚 𝑆 𝑆=10 2∙3,1 2 =31 𝑐𝑚 2 36° 18° 𝑃𝑙𝑜𝑐ℎ𝑎 200 𝑠𝑜𝑢čá𝑠𝑡𝑒𝑘: 𝑣 200∙31=6 200 𝑐𝑚 2 =0,62 𝑚 2 2 cm 1 𝑚 2 ……….24 kg 0,62 𝑚 2 ………𝑥 𝑘𝑔 𝑥=0,62∙24=14,88 𝑘𝑔 200 součástek má hmotnost 14,88 kg.

Obvody a obsahy rovinných obrazců Půdorys věže je pravidelný šestiúhelník o straně délky 5m. Vypočtěte výměru parku kolem věže a délku jeho oplocení, má-li park rovněž tvar pravidelného šestiúhelníku s šestinásobnou délkou strany a stojí-li věž v jeho středu. Př.: Řešení: 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑐𝑒𝑛í: 𝑜=6∙30=180 𝑚 𝑣ý𝑚ě𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑘𝑢: 𝑆= 𝑆 1 − 𝑆 2 𝑆 1 =6 30 2 3 4 =2 338, 𝑚 2 𝑆 2 =6 5 2 3 4 =65 𝑚 2 5m 𝑆=2 338−65=2 273 𝑚 2 30 𝑚 Výměra parku kolem věže je 2 273 𝑚 2 a délka oplocení je 180 m.

Anotace: Tato prezentace slouží k procvičení výpočtů obvodů a obsahů rovinných obrazců. Žák řeší úlohy z praxe s využitím vzorců pro výpočet obvodů a obsahů. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl, 1. vydání 2002, Prometheus, ISBN 80-7196-253-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová