2. NEUTRONOVÉ REAKCE Úvod 2.1. Interakce neutronů s jádry 2.1.1. Chování neutronů v jaderném reaktoru 2.1.2. Typy neutronových reakcí 2.1.3. Neutronové účinné průřezy 2.2. Pravděpodobnost srážky 2.2.1. Pravděpodobnostní funkce 2.2.2. Střední volná dráha 2.3. Hustota neutronových interakcí 2.4. Hustota toků neutronů

Úvod Z jaderných reakcí má z hlediska teorie jaderných reaktorů největší význam interakce jádra s neutrony. Neutrony nenesou elektrický náboj, proto nemusí při přibližování se k atomovému jádru překonávat odpuzující sílu a mohou proniknout k jádru mnohem blíže. Z tohoto důvodu mohou i tepelné neutrony, které mají malou kinetickou energii (En = 0,025 eV) vyvolat jadernou reakci. Budeme se nyní zabývat blíže interakcemi neutronů s jádrem a také interakcemi velkého počtu neutronů s velkým počtem jader.

2.1. Interakce neutronů s jádry Experimentální potvrzení existence neutronů bylo poprvé získáno Chadwikem /L17/ při bombardování berylia rychlými částicemi alfa: Neutrony vznikající při této reakci dopadaly na parafínový terčík a vyrážely z něj protony, které byly identifikovány pomocí svého náboje.

2.1.1. Chování neutronů v jaderném reaktoru Známe‑li pravděpodobnosti jednotlivých interakcí neutronů s jádry, můžeme určit rozložení hustoty neutronů v reaktoru i rychlosti všech reakcí, ke kterým dochází v důsledku těchto interakcí. Neutrony uvolňované při štěpení mají poměrně vysokou průměrnou energii (2 MeV) a mají libovolný směr. Neutron se pohybuje z místa, kde došlo ke štěpení po přímé dráze až do té doby, než se srazí s jádrem nebo unikne ze systému. V reaktorové fyzice se předpokládá, že oblast vně systému je vakuum, takže nedochází k zpětnému rozptylu neutronů do systému.

Obr.2.1 - Schéma dráhy neutronu v reaktoru: 1 - počátek dráhy 3 - absorpce 2 - rozptyl 4 - únik z reaktoru

Obr.2.2 - Změna energie neutronu při rozptylu Změna kinetické energie neutronu mezi jednotlivými srážkami je určena rychlostí v každém jednotlivém přímočarém úseku dráhy a má tvar stupňovité funkce. Při každém rozptylu se energie neutronu mění skokem (viz obr.2.2). Obr.2.2 - Změna energie neutronu při rozptylu

2.1.2. Typy neutronových interakcí K nejdůležitějším interakcím neutronů s jádry v teorii jaderných reaktorů patří tyto reakce: štěpení jaderného paliva (235U, 233U, 239Pu), tzv. reakce (n,f), Absorpce neutronů - reakce (n,γ), (n,a), (n,p), Rozptyl neutronů - reakce (n,n), (n,n').

Neutronové reakce se uskutečňují ve většině případů přes složené  jádro (80 ‑ 90% reakcí): štěpení, reakce (n,f) radiační záchyt, reakce (n,g) reakce (n,a) reakce (n,p) Pružný rozptyl rezonanční, reakce (n,n) nepružný rozptyl, reakce (n,n') • Z - atomové číslo terčového jádra • X, Y - produkty štěpení, • A - atomová  hmotnost • 1n - neutrony uvolněné při štěpení. • [A+1Z]* - vzbuzený (excitovaný) stav

Kromě pružného rozptylu přes vzbuzené jádro může nastat tzv Kromě pružného rozptylu přes vzbuzené jádro může nastat tzv. potenciální pružný rozptyl, při kterém terčové jádro zůstalo v základním energetickém stavu, V mnohých případech mohou probíhat všechny z uvedených reakcí, ale pravděpodobnost uskutečnění každé reakce je jiná. Například při bombardování vzorku 235U tepelnými neutrony jsou pravděpodobnosti, že se uskuteční štěpení, radiační záchyt a rozptyl v poměru 60:10:1.

2.1.3. Neutronové účinné průřezy 2.1.3.1. Mikroskopický účinný průřez Ke kvantitativnímu popisu interakce neutronů s atomovými jádry se používají účinné průřezy. Účinný průřez pro určitou reakci vztažený na jedno jádro se nazývá mikroskopický účinný průřez a označuje symbolem σ. Vyjadřuje míru pravděpodobnosti, že dojde k interakci mezi jedním jádrem, nacházejícím se v terčové ploše 1 m2 a jedním dopadajícím neutronem, který projde kolmo touto plochou. Jednotkou mikroskopického účinného průřezu je 1 m2. Pozn: 1 barn = 10 -28 m2. 

Pro účinný průřez platí adiční zákon, tj Pro účinný průřez platí adiční zákon, tj. dojde‑li k několika druhům interakcí neutronu s jádrem, můžeme určit celkový účinný průřez např. takto: σe , σi , σf, σr ‑ účinné průřezy pro pružný a nepružný rozptyl, štěpení a radiační záchyt, σs, σa ‑ účinné průřezy pro rozptyl a absorpci. Účinný průřez jádra pro příslušnou reakci je charakteristikou jádra a závisí na energii dopadajícího neutronu, tj. kde A ‑ atomová hmotnost terčového jádra, E ‑ energie neutronu vstupujícího do interakce.

Závislosti účinných průřezů na energii pro všechny prvky, s kterými se pracuje v neutronové a reaktorové fyzice, jsou stanovené a zpracované v tabulkách a grafech pro rychlost neutronů 2200 m/s. Typická závislost účinného průřezu pro absorpci neutronů na energii je znázorněna na obr.2.3. Energetický interval neutronů v jaderném reaktoru je značně široký, od 10-2 eV do 107 eV. Tento energetický interval z hlediska účinných průřezů můžeme rozdělit u mnoha jader (zvláště pro A > 100) na tři charakteristické oblasti tak, jak je vidět z obr.2.3.

Obr.2.3 - Závislost účinného průřezu pro absorpci neutronu na energii 1. Oblast zákona 1/ν (do ~ 1 eV). 2. Rezonanční oblast (~ 1 eV až ~ 103 eV). 3. Oblast neutronů s velkou energií (~ 103 eV až ~ 107 eV).

V první oblasti můžeme účinný průřez vyjádřit vztahem σ, σo, ‑ účinné průřezy neutronů při rychlosti ν a při rychlosti νo = 2200 m/s. V druhé oblasti, tzv. rezonanční, může mít účinný průřez několik maxim, jejich počet je závislý na druhu izotopu. Třetí oblast zahrnuje neutrony s velkou energií, tj. neutrony střední (~103 až ~ 105 eV) a rychlé (E > 105 eV). Tato oblast se vyznačuje tím, že účinný průřez pro rozptyl neutronů i pro vznik složených jader se blíží ke geometrickému průřezu jádra.

2.1.3.2. Makroskopický účinný průřez Makroskopický účinný průřez (označujeme symbolem Σ) je mírou pravděpodobnosti toho, že dojde k interakci mezi jedním jádrem ze všech, které se nachází v krychli o straně 1 metr a neutronem, který dopadá kolmo na jednu ze stěn této krychle. Pro makroskopický účinný průřez platí vztah N je hustota jader, tj. počet jader v jednotce objemu (1 m3) dané látky.

Je‑li ρ [kg/m3] měrná hmotnost látky tvořené jedním prvkem, M její molární hmotnost [kg/mol] a NA Avogadrova konstanta (NA = 6,023.1023 mol-1), potom počet jader v jednotce objemu vypočítáme podle vzorce Vztah pro výpočet makroskopického účinného průřezu platí pro interakci neutronů s jedním druhem jader. Když příslušnou látku tvoří několik druhů jader, určíme makroskopický účinný průřez sčítáním parciálních účinných průřezů pro jednotlivé druhy jader. ci - objemové zastoupení i - tého druhu jader, Σi - makroskopický účinný průřez pro příslušnou reakci i - tého druhu jader.

V následující tab.2.1 jsou uvedeny počty jader v 1 m3 a mikroskopické účinné průřezy tepelných neutronů pro některé materiály používané v jaderných reaktorech (podle BNL-325, hodnoty s hvězdičkou jsou vynásobeny 105). Tab.2.1 - Mikroskopické účinné průřezy pro absorpci a rozptyl některých materiálů používaných jaderných reaktorech Materiál N.10-30 [m-3] σ .1028 [m2] sa ss H 5,3* 0,33 38 B 0,1364 755 4 Be 0,01236 0,010 7,0 C 0,0803 0,0045 4,8 O 0,0002 4,2 Al 0,0602 0,241 1,4 Yr 0,0423 0,185 8 Upřír 0,04873 7,68 8,3

V tab.2.2 jsou uvedeny mikroskopické účinné průřezy tepelných neutronů pro některé štěpitelné izotopy. Tab.2.2 - Mikroskopické účinné průřezy tepelných neutronů pro 233U, 235U a 239Pu Izotop s .1028 [m2] sa ss sf 233U 574,8+1,8 8,2 525,5+1,6 235U 678,4+1,6 577,5+1,6 239Pu 1025 - 745,9+3,3

Makroskopický účinný průřez pro sloučeninu určíme ze vztahu M - molární hmotnost sloučeniny, νi ‑ počet atomů i‑tého druhu v jedné molekule, σi ‑ mikroskopický účinný průřez pro příslušnou reakci s jádry i‑tého druhu. Podobně jako pro mikroskopický účinný průřez platí i pro makroskopický účinný průřez adiční zákon. Je‑li jádro pro interakci s neutrony n rozdílných typů srážek, potom celkový makroskopický účinný průřez je dán vztahem

2.2. Pravděpodobnost srážky Stanovení počtu srážek mezi neutronem a jádrem v objemové jednotce za jednotku času v kterémkoliv bodě zkoumaného prostředí závisí na znalosti pravdě- podobnosti různých interakcí mezi neutronem a jádrem. Tyto pravděpodobnosti závisí na počtu přítomných jader a též na relativní rychlosti neutronů. Vzájemné reakce neutronů můžeme zanedbat vzhledem k tomu, že pravděpodobnost srážky neutronu s neutronem je asi o šest řádů menší než pravděpodobnost srážky neutronu s jádrem.

2.2.1. Pravděpodobnostní funkce Obr. 2.4 Kolimovaný svazek monoenergetických neutronů procházející polonekonečným prostředím Nechť n0 je počet monoenergetických neutronů dopadajících kolmo na jednotkovou plochu povrchu homogenního polonekonečného prostředí (viz obr.2.4). Každý neutron se dostane do určité vzdálenosti od hranice prostředí dříve, než dojde k první srážce s jádrem. Úkol spočívá v určení prostorového rozložení těchto prvních srážek.

Označme nyní n(x) počet neutronů, které pronikly do vzdálenosti x a přitom se nesrazily s jádry. Dále budeme předpokládat, že relativní počet neutronů, které prodělaly první srážku v malém intervalu dx je konstantní a nezávisí na poloze tohoto intervalu. Když označíme n(x) počet neutronů, které prodělaly první srážku v intervalu dx, pak můžeme psát kde Σ je konstanta závislá na prostředí, konkrétním typu interakce neutronu s jádry a na rychlosti neutronu. Řešení této rovnice s okrajovou podmínkou n(0) = n0 má tvar

Exponenciální funkce ve posledním výrazu představuje pravděpodobnost, že neutron dosáhl vzdálenosti x a na této dráze se nesrazil, S ní je svázána pravděpodobnost, že neutron prodělá první srážku na dráze x a představuje funkci rozložení prvních srážek Funkce popisující rozložení hustoty prvních srážek je dána pravděpodobností, že neutron absolvuje první srážku v jednotkovém intervalu v okolí bodu x. Je dána vztahem

Obr.2.5 - Pravděpodobnostní funkce. Obecný tvar funkce rozložení prvních srážek a hustoty prvních srážek pro Σ = 1 je znázorněn na obr.2.5. Obr.2.5 - Pravděpodobnostní funkce. 1 – rozložení prvních srářek F(x), 2 - rozložení hustoty prvních srážek f(x)

2.2.2. Střední volná dráha Důležitou charakteristikou neutronu při průchodu látkou je průměrná vzdálenost, kterou musí proběhnout než se srazí s jádrem. Tuto vzdálenost můžeme určit jako první moment funkce rozložení hustoty srážek Průměrnou vzdálenost nazýváme střední volnou drahou a budeme ji označovat symbolem λ.

Makroskopický účinný průřez můžeme tedy vyjádřit jako reciproční hodnotu střední volné dráhy Z tohoto vztahu je zřejmý i fyzikální význam makroskopického účinného průřezu, který představuje střední počet srážek při-padající na jednotku volné dráhy. Výraz udává zeslabení svazku neutronů vlivem absorpce neutronů ve vrstvě látky o tloušťce x. Když v tomto výrazu položíme za x = λ, můžeme λ definovat jako vzdálenost, na které intenzita neutronového svazku poklesne na hodnotu 1/e své původní intenzity účinkem absorpce neutronů v látce, ve které nedochází k rozptylu. Proto se veličina λ také někdy nazývá relaxační délkou.

Předpokládejme nyní, že se neutron pohybuje v homogenním prostředí Předpokládejme nyní, že se neutron pohybuje v homogenním prostředí. Pravděpodobnost toho, že neutron nepodlehne srážce během průchodu vzdáleností x, lze vyjádřit součinem Výraz je pravděpodobnost, že neutron se buď pohltí, nebo prodělá pružný rozptyl dříve, než projde vzdáleností x. Odpovídající hustota srážek je kde pro Σo platí Σo = Σs + Σa.

Jestliže jádra mohou prodělávat n různých neutronových reakcí, pak určuje celkový počet srážek, který neutron prodělá na jednotce volné dráhy. Pro totální střední volnou dráhu můžeme psát výraz Veličina λt představuje průměrnou vzdálenost, kterou neutron proběhne do té doby, než se uskuteční jedna z n možných reakcí.

2.3. Hustota neutronových interakcí Předpokládejme, že ve zkoumaném systému se pohybují všechny neutrony v libovolném směru s konstantní rychlostí ν. Průměrný počet interakcí neutronů s jádry za čas dt v elementárním objemu dr v okolí bodu můžeme vyjádřit následujícím způsobem - průměrný počet interakcí neutronů pohybujících se rychlostí ν  na jednotku proběhnuté dráhy, - hustota neutronů, - hustota neutronových interakcí. Hustota neutronových interakcí je tedy průměrný počet interakcí neutronů s rychlostí v v jednotce objemu v bodě r za jednotku času v časovém okamžiku t.

2.4. Hustota toku neutronů Hustotu toku neutronů definujeme následovně: kde ν je rychlost neutronu a je hustota neutronů. Hustota toku neutronů představuje součet drah, které proletí všechny neutrony v jednotkovém objemu za jednotku času. Hustotu neutronových interakcí potom můžeme vyjádřit ve tvaru:

Někdy je vhodnější vyjádřit hustotu toku neutronů v závislosti na jejich kinetické energii E a ne na jejich rychlosti. Vztah mezi hustotou toku neutronů závislou na energii a hustotou toku, která závisí na rychlosti, je kde . - hustotu toku neutronů na jednotku energie - hustota toku neutronů - rychlost neutronů - hustota neutronů jakožto funkce kinetické energie neutronů E

Nyní můžeme vyjádřit hustotu neutronových interakcí F v závislosti na energii E následujícím způsobem: resp.: Celkovou délku dráhy, kterou projdou neutrony s energií v intervalu od E do E+dE v systému o objemu V, získáme integrací Obdobně pro celkovou délku dráhy neutronů všech energií v objemu V platí: