Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými * 16. 7. 1996 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Matematika – 9. ročník Metoda sčítací *

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustava rovnic a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 kde a1, b1, c1, a2, b2, c2, náleží množině reálných čísel, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y. Řešením této soustavy nazýváme každou uspořádanou dvojici [x0; y0], která je řešením obou jejích rovnic.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 1. Jsou dány dvě lineární rovnice se dvěma neznámými x + 2y = 8 2x – 3y = - 5 a tři uspořádané dvojice: [4;2]; [-1;1]; [2;3]. Která z dvojic je řešením první a zároveň i druhé rovnice?

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 1. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [4;2] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 4 + 2·2 = 8 8 = 8 L = P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·4 – 3·2 ≠ - 5 2 ≠ - 5 L ≠ P Uspořádaná dvojice je řešením pouze první rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 2. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [-1;1] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 -1 + 2·1 ≠ 8 1 ≠ 8 L ≠ P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·(-1) – 3·1= - 5 - 5 = - 5 L = P Uspořádaná dvojice je řešením pouze druhé rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 3. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [2;3] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 2 + 2·3 = 8 8 = 8 L = P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·2 – 3·3 = - 5 - 5 = - 5 L = P Uspořádaná dvojice je řešením první i druhé rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Dvě rovnice x + 2y = 8 2x – 3y = - 5 nazýváme: Soustava (dvou) lineárních rovnic se dvěma neznámými. Uspořádaná dvojice [2;3] je řešením první i druhé rovnice. Uspořádaná dvojice čísel, která je řešením první i druhé rovnice této soustavy, se nazývá řešením soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými. Zapisujeme: [x;y] = [2;3]

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Existují čtyři základní metody řešení soustav dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. - Sčítací metoda - Dosazovcí metoda - Srovnávací metoda - Grafická metoda

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 1. Vypočtěte, co je řešením soustavy lineárních rovnic: 2x – y = 4 x + 2y = - 3 a) Rovnice vynásobíme takovými čísly (různými od nuly), abychom po jejich sečtení dostali jedinou lineární rovnici s jednou neznámou. To znamená, že musíme dostat v obou rovnicích u jedné z proměnných opačné výrazy, abychom po jejich sečtení dostali nulu. 2x – y = 4 /· 2 x + 2y = - 3 /· 1 2x – y = 4 /· 1 x + 2y = - 3 /· (- 2) a (nebo) 2x – y = 4 - 2x – 4 y = 6 4x – 2y = 8 x + 2y = - 3

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. b) Rovnice sečteme a vypočítáme neznámou: x a (nebo) y 5x = 5 – 5y = 10 x = 5 : 5 y = 10 : (- 5) x = 1 y = - 2 c) Nyní dosadíme x = 1 (nebo y = -2) do libovolné rovnice: x + 2y = - 3 a (nebo) x + 2y = - 3 1 + 2y = - 3 x + 2·(- 2) = - 3 x - 4 = - 3 2y = - 3 - 1 2y = - 4 x = - 3 + 4 y = - 2 x = 1

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. d) V této chvíli máme dvojici čísel x = 1 a y = - 2, tedy uspořádanou dvojici [1;-2]. Zda je naše řešení správné musíme ověřit zkouškou. L1 = 2 · 1 – (- 2) = 2 + 2 = 4 L2 = 1 + 2·(- 2) = 1 – 4 = - 3 P1 = 4 P2 = - 3 L1 = P1 L2 = P2 e) Uspořádaná dvojice [x;y] = [1;-2] je řešením obou rovnic a tudíž je i řešením dané soustavy lineárních rovnic.

* 16. 7. 1996 Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. Shrnutí: 1. Rovnice (-i) vynásobíme takovými čísly (-lem) (různými od nuly), abychom po jejich sečtení dostali jedinou lineární rovnici s jednou neznámou. To znamená, že musíme dostat v obou rovnicích u jedné z proměnných opačné výrazy, abychom po jejich sečtení dostali nulu. 2. Rovnice sečteme a vzniklou lineární rovnici s jedinou neznámou vyřešíme. Toto uděláme i s druhou proměnnou. a(nebo) 3.Kořen rovnice dosadíme do kterékoliv rovnice se dvěma neznámými. Častěji se používá kombinace sčítací a dosazovací metody 4. Vzniklou lineární rovnici opět vyřešíme. 5. Svoje řešení ověříme zkouškou. 6. Zapíšeme řešení soustavy lineárních rovnic. Poznámka: Rovnice soustavy nebudou vždy zadány ve tvaru ax + by = c. V takovém případě je je třeba ještě před násobením rovnic do tohoto tvaru upravit. *

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 2. Řešte soustavu lineárních rovnic: 4x – 3y = 8 x + 5y = 2 [x;y] = [2;0]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 3. Řešte soustavu lineárních rovnic: [u;v] = [-3;-2]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 4. Řešte soustavu lineárních rovnic: x + 15y = - 5 2,1x – 3,5y = 4,9 [x;y] = [1,6; - 0,44]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 5. Řešte soustavu lineárních rovnic: 2u + 4v – 5 = 0 u – v - 1= 0 [u;v] = [1,5; 0,5]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 6. Řešte soustavu lineárních rovnic: [p;q] = [27,2; - 7,8]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 7. Řešte soustavu lineárních rovnic: [x;y] = [- 5; - 7]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými sčítací metodou. 8. Řešte soustavu lineárních rovnic: [x;y] = ; x ≠ 1 a y ≠ 1