Stereometrie Řezy hranolu II VY_32_INOVACE_M3r0109 Mgr. Jakub Němec

Pravidla pro sestrojení řezu V této lekci se soustředíme na hledání řezu tělesa podle pravidla, které využívá jednoho společného bodu tří různoběžných rovin. Ostatní pravidla však budeme využívat stále. V rámci opakování si je připomeneme: Pokud leží dva různé body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. Dvě různé rovnoběžné roviny protíná třetí různoběžná rovina ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách. Pokud jsou tři navzájem různoběžné roviny, které mají společný právě jeden společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice daných rovin.

V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH. Určete řez krychle danou rovinou.

Body K a L leží v jedné rovině. Tvoří tedy přímku. Nyní musíme určit přímku, která nám určí řez v zadní stěně. Využijeme k tomu třetího pravidla. Rovina dolní podstavy a rovina zadní stěny mají průsečnici, která je určena body C a D. Průsečnice dolní podstavy a roviny KLM je evidentně určena body K a L. Máme dvě různoběžné přímky (CD, KL) a není tedy problém najít jejich průsečík P.

Vzhledem k tomu, že tři výše uvedené roviny jsou různoběžné (a jejich průsečnice evidentně nejsou rovnoběžné) víme, že třetí průsečnice musí procházet stejným bodem P. V zadní stěně máme zadán navíc bod M. Bod M a P jednoznačně určují přímku, která je průsečnicí roviny zadní stěny a roviny KLM. Získáme tak další část řezu, která je vymezena body M a R.

Nyní již není problém využít prvního a druhého pravidla a dokončit řez na základě znalostí z minulé lekce.

Určíme viditelnost.

Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

V krychli ABCDEFGH mějme rovinu XYZ, kde bod X leží na hraně BC a platí |BX| : |CX| = 2 : 1, bod Y leží na hraně CG a platí |CY| : |GY| = 1 : 2 a bod Z leží ve středu hrany AE. Určete řez krychle danou rovinou.

Na začátek lze spojit body X a Y, protože leží v jedné stěně (první pravidlo – body v rovině).

Na základě druhého pravidla (rovnoběžnost průsečnic dvou rovnoběžných rovin a k ní různoběžné roviny) lze najít rovnoběžku v bodě Z a nalézt tak část řezu PZ.

Na základě třetího pravidla nalezneme společný bod R pro průsečnice roviny boční stěny, roviny horní podstavy a roviny XYZ. Využijeme průsečnice roviny XYZ a roviny boční stěny.

Spojíme bod horní podstavy P a bod R, který musí také ležet v horní podstavě, a získáme další část řezu PS.

V zadní stěně lze určit část řezu SY.

Na základě rovnoběžnosti horní a dolní podstavy získáme část řezu TX v dolní podstavě.

Nakonec vytvoříme část řezu TZ (je rovnoběžná s částí řezu SY), čímž je řez hotov.

Určíme viditelnost.

Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, CG a EH. Určete řez krychle danou rovinou.

V této situaci nám prozatím nepomůže ani jedno z výše uvedených pravidel. Musíme si vytvořit pomocnou rovinu, díky které najdeme společný bod přímky LM a dolní podstavy.

Body L a M kolmo promítneme do roviny dolní podstavy Body L a M kolmo promítneme do roviny dolní podstavy. Získáme tak body M‘ a L‘. Tomuto postupu se říká kolmý průmět do roviny.

Přímky LM a L‘M‘ nám určují rovinu.

Díky této rovině jsme schopni přesně určit bod P, v němž prochází přímka LM rovinou dolní podstavy.

Bod K leží v rovině dolní podstavy, stejně jako bod P Bod K leží v rovině dolní podstavy, stejně jako bod P. Oba body zároveň náleží rovině KLM. Přímka, která je určena body K a P, nám určuje první část hledaného řezu KR.

Na základě prvního pravidla můžeme spojit body R a L, protože leží ve stejné rovině.

Na základě druhého pravidla můžeme najít v horní podstavě rovnoběžnou přímku SM k přímce KR ležící v dolní podstavě.

Poté můžeme spojit body S a L, jelikož leží v jedné rovině.

Poté lze sestrojit přímku MT, která je rovnoběžná s přímkou LR a získáme tak další část řezu.

Poslední částí řezu, která nám schází, je spojnice bodů K a T v přední stěně. Je nutno poznamenat, že od té chvíle, kdy nalezneme bod R (popř. jiný bod podobným postupem) lze postupovat v jiném pořadí, než bylo naznačeno výše, ale výsledný řez musí být vždy stejný.

Určíme viditelnost.

Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

Úkol závěrem Urči řez krychle ABCDEFGH, který je určen rovinou: a) KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AD, AE a GH b) OPQ, kde body O, P a Q jsou po řadě středy hran AE, BC a GH. c) XYG, kde bod X je střed stěny ADH a bod L leží na hraně AB a platí |AL| : |LB| = 2 : 1.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.