Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 V Časová propagace vlnové funkce na mřížce IV. - metoda (t,t’) pro časově závislý Hamiltonián - odchozí okrajová podmínka:

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Analýza signálů - cvičení
Advertisements

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
MARKOVSKÉ ŘETĚZCE.
RF Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických.
Geometrický parametr reaktoru různého tvaru
Téma 3 Metody řešení stěn, metoda sítí.
Rozhodněte o její pohyblivosti (určete počet stupňů volnosti).
Lekce 2 Mechanika soustavy mnoha částic
Přednáška 12 Diferenciální rovnice
Skalární součin Určení skalárního součinu
Lineární algebra.
ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška.
Konstanty Gravitační konstanta Avogadrova konstanta
Gaussova eliminační metoda
Radiální elektrostatické pole Coulombův zákon
vlastnost elementárních částic
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 X Klasická-kvantová korespondence ve fázovém prostoru lekce (X)
Elementární částice Leptony Baryony Bosony Kvarkový model
Základy vlnové mechaniky - vlnění
TMF045 letní semestr 2005/2006 II Časová propagace vlnové funkce na mřížce I. (práce s momentovou reprezentací) (Lekce II)
Hartree-Fockova Metoda Kryštof Dibusz VŠCHT Praha FCHT – Aplikovaná Informatika v Chemii 4. ročník
Shrnutí z minula.
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ
VII. Neutronová interferometrie II. cvičení KOTLÁŘSKÁ 7. DUBNA 2010 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr
Homogenní elektrostatické pole
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší.
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IV Časová propagace vlnové funkce na mřížce III. (propagační metody) (Lekce IV)
Náhodný jev A E na statistickém experimentu E - je určen vybranou množinou výsledků experimentu: výsledku experimentu lze přiřadit číslo, náhodnou proměnnou.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
IX. Vibrace molekul a skleníkový jev KOTLÁŘSKÁ 23.DUBNA 2008 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr
Ultrazvuk – vlnové vlastnosti
RF 4.1. Elementární difúzní teorie Elementární difúzní teorie je asymptotickým přiblížením jednorychlostní transportní teorie. Platí: v oblastech dostatečně.
Tato prezentace byla vytvořena
Jak pozorujeme mikroskopické objekty?
Shrnutí z minula Heisenbergův princip neurčitosti
Zpomalování v nekonečném prostředí s absorpcí
Elektron v periodickém potenciálovém poli - 1D
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 III Časová propagace vlnové funkce na mřížce II. (propagační metody) (Lekce III)
Pojem účinného průřezu
Geometrické znázornění kmitů Skládání kmitů 5.2 Vlnění Popis vlnění
Teorém E. Noetherové v teorii pole
Určení parametrů elektrického obvodu Vypracoval: Ing.Přemysl Šolc Školitel: Doc.Ing. Jaromír Kijonka CSc.
Přednes 5 Lokální interpolační funkce na trojúhelníkovém prvku.
Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná.
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IX Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru lekce (IX - XI)
© Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
© Institut biostatistiky a analýz ZPRACOVÁNÍ A ANALÝZA BIOSIGNÁL Ů FREKVENČNÍ SPEKTRUM SPOJITÝCH SIGNÁLŮ.
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
5.4. Účinné průřezy tepelných neutronů
IX. Vibrace molekul a skleníkový jev cvičení
Skládání kmitů.
Matice přechodu.
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda
Diference a diferenciál Způsoby vyčíslování termodynamických dat.
str. 1 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Vlastní řešení Hamiltoniánu s komplexní energií metoda komplexního škálování.
6.1. Fermiho teorie stárnutí
7.3. Dvojskupinová metoda výpočtu reaktoru s reflektorem
Kmitání mechanických soustav 1 stupeň volnosti – vynucené kmitání
Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické rozdělení a testy, operace s vektory a maticemi Jiří Jarkovský, Simona Littnerová.
VEKTORY.
Ultrazvuk – vlnové vlastnosti
KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE  E.  t   WIGNER—WEISSKOPFŮV ROZPAD (Abstraktní Andersonův Hamiltonián) III.
VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení
Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší.
Soustava lineárních rovnic
Fergusonova kubika a spline křivky
1 Lineární (vektorová) algebra
2. přednáška Differenciální rovnice
Transkript prezentace:

str. 1 TMF045 letní semestr 2006 V Časová propagace vlnové funkce na mřížce IV. - metoda (t,t’) pro časově závislý Hamiltonián - odchozí okrajová podmínka: metoda komplexního škálování a neskalární absorpční potenciál (Lekce V)

str. 2 TMF045 letní semestr 2006 V Metoda (t,t’) řešení časově závislých Hamiltoniánů: – propagace po velmi krátkých časových krocích, na nichž lze Hamiltonián považovat přibližně za konstantní např. rozděleným propagátorem – Adams-Moulton prediktor-korektor,… – metoda (t,t’) – velmi efektivní princip (t,t’) : –zavedeme novou funkci s dvěma časovými souřadnicemi. Podmínka: nová funkce se na diagonále rovná propagované funkci.

str. 3 TMF045 letní semestr 2006 V Metoda (t,t’) –časová závislost na diagonále musí splňovat časovou Schrödingerovu rovnici: –derivujeme podle času –derivace diagonály – pomocí substituce –dosazení ze Schrödingerovy rovnice:

str. 4 TMF045 letní semestr 2006 V Metoda (t,t’) –různé zápisy pravé strany (která musí platit pro diagonálu) pomocí dvou rozměrů: –omezíme se na to, že Hamiltonián závisí na čase jen jako skalární operátor, takže lze napsat také např. –rovnice pro dva rozměry, kde diagonála splňuje časově závislou Schr. r.

str. 5 TMF045 letní semestr 2006 V Metoda (t,t’) –řešení rovnice pro dvě časové souřadnice: –proměnná t’ slouží jako nová souřadnice –Hamiltonián je zobecněný operátor Floquetova typu –propagujeme v t“, Floquet Hamiltonián nezávisí na t“, čili můžeme evoluční operátor napsat v obvyklém tvaru –počáteční stav může být závislý na t’ libovolně

str. 6 TMF045 letní semestr 2006 V Metoda (t,t’) –shrnutí rovnic (t,t’) :

str. 7 TMF045 letní semestr 2006 V Elektromagnetické pole náš případ bude Hamiltonián popisující účinek elektromagnetického pole na molekulu definice Hamiltoniánu a „gauge invariance“ –Lorentzova síla na náboj q dána el. polem a magn. indukcí –zavedení elektromagnetického vektorového a skalárního potenciálu: –klasický Hamiltonián

str. 8 TMF045 letní semestr 2006 V Elektromagnetické pole –volnost v definici A a phi – můžeme měnit definici, aniž by se změnila Lorentzova síla takto: –Hamiltonián není invariantní vůči těmto transformacím (gauges) –po kvantizaci získáme různé formy Hamiltoniánu pro různé „gauges“ –jejich řešení (vlnové funkce) se navzájem liší ve fázi –měřitelné veličiny se neliší

str. 9 TMF045 letní semestr 2006 V Elektromagnetické pole dipólová aproximace: –zanedbáme prostorovou závislost pole –podmínka: vlnová délka mnohem delší než rozměry molekuly Hamiltonián interakce molekuly s elektromagnetickým polem v dipólové aproximaci některých známých „gauges“ –„length gauge“ –„reduced momentum gauge“ … Hamiltonián molekuly bez pole

str. 10 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián po excitaci adiabatickým pulsem (tj. intensita narůstá pomalu ve srovnání s kmitočtem sin(ωt) ) se molekula postupně dostane do kvazistacionárního stavu. Toto platí i pro velmi silná pole indukující generaci vyšších harm. frekvencí řádu TW/cm 2. Definice el.mag. pole Hamiltonián: –length gauge –red. mom. gauge obě varianty reprez. periodickým Hamiltoniánem

str. 11 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián kvazistacionární stavy periodického Ham. kde je periodické řešení Floquetova operátoru H F (Floq. stav) Příklad: Ukažte, že Floq. stavy pro případ, že nemáme žádné pole, jsou dány vlastními stavy molekuly. (návod: separace proměnných x a t)

str. 12 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián Řešení Floq. op. ve Fourierově bázi: Floq. matice n=-1 n=0 n=1 n’ n vlastní stavy molekuly

str. 13 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián využijeme, že H F je součet H 0, dipólu a d/dt část H 0 část dipólu – length gauge dipólová matice

str. 14 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián – reduced momentum gauge část d/dt pro M funkcí psi(x) a N frekvenčních kanálů získáme MxN kvazi-energií, ale jen M je netriviálních, ostatní jsou posunuté o (n hbar ω) oproti centrální Brillouinově zóně

str. 15 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián řešení: – přímá diagonalizace Floq. matice je nevýhodná (matice je příliš velká, přičemž se ve výsledku celá informace zbytečně opakuje N-krát ) – Floquetovy stavy pro jeden fixní čas jsou také řešením evolučního operátoru pro jeden optický cyklus: je možné toho využít tak, že se konstruuje příslušný evoluční operátor v bázi stavů psi(x) a diagonalizací se získá M Floq. stavů v daném fixním čase. Jejich další propagací se dopočítá i časová závislost. – důkaz :

str. 16 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián evoluční operátor v bázi psi(x) je potřeba propagovat funkce psi(x) s časově závislým Hamiltoniánem – velmi výhodně lze použít metodu (t,t’), viz. str. 6 – 1. počáteční funkce je konstantní v t´: – 2. propagujeme v t od 0 do T: – 3. vyjádříme PSI v bázi pro x a t´:

str. 17 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián –4. kde koeficienty jsou dány takto (ortogonalita báze) –5. dosadíme za ket- (viz výše) –6. koeficienty můžeme zapsat jako nultý sloupec velké matice (srovnej Floquetova matice) –7. z rovnice 3 získáme matici evolučního operátoru pro jednu periodu pomocí koeficientů c:

str. 18 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián –8. výpočet koeficientů c pro dosazení do rov. 7, viz. definice rov. 6. Definice zobezněného evolučního operátoru viz str. 6. Nejčastěji se používá rozvoj zobecněného evolučního operátoru do Taylorovy řady, možno použít jakékoli propagační metody pro časově nezávislé Hamiltoniány.

str. 19 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián –9. z toho vyplývá pro koeficienty: –10. výpočet elementů –aproximace konečné báze – níže uvedené platí přesně jen pro nekonečnou bázi

str. 20 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián –11. dosazení do rov. 9 –pomocí malých matic –12. jak vypočítat 0-tý sloupec m-té mocniny Floquetovy matice – využití symetrie této matice (viz str.12-14), takže není třeba ukládat celou Floq. matici.

str. 21 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián otázka počtu frekvenčních kanálů: –Kdybychom diagonalizovali F. matici, odpovídá počet použitých Fourierových funkcí počtu zahrnutých frekvenčních kanálů. U metody (tt´) se Fourierova báze netýká časové proměnné, ale pomocné proměnné t´. Numerická zkušenost je, že počet zahrnutých frekvenčních kanálů ve Floquetově stavu v metodě (tt´) je několikrát vyšší než počet bází pro t´. numerické řešení rov. 7 –rov. 7

str. 22 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián postupným sčítáním matic c n,0 rychlejší způsob představuje využití maticového násobení ve spojení s použitím knihoven BLAS (LAPACK) –předefinujeme matice takto: –rovnici 7 nahradíme takto: –což lze napsat jako maticové násobení: c -1,0 c 0,0 c 1,0

str. 23 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián – pozn. s využitím knihoven BLAS vede druhý způsob k násobnému zrychlení výpočtu ve srovnání s optimalizovaným C. Podle platformy jde o urychlení 4x (HP workstation) až 8x (PC). Příklad: Navrhněte, jak realizovat druhý způsob výpočtu výše pomocí Matlabového příkazu reshape.

str. 24 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián Výpočet spektra vyšších harmonických frekvencí: –genrovaný dipól obsahyje zřetelné složky vyšších harmonických frekvencí –důvod: elektrony jsou urychlovány polem o základní frekvenci, ale přitom naráží na kulombický potenciál jader, který je urychluje a zpomaluje oproti „tahu pole“ jádro kulombický potenciál + vnější proměnné el. pole pro elektron e

str. 25 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián vztah dipólu a vyzařované intenzity úprava metodou integrace per partes –vztah vhodný pro výpočty v momentové gauge –vztah vhodný pro výpočty v length gauge

str. 26 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián časově závislá střední hodnota dipólu – –opět využijeme metodu (tt´) –konstruujeme propagátory pro menší kroky (ne jeden pro celou periodu) v bázi vlastních stavů H 0 (bez elmag pole) pro –počáteční funkce je psi k propagovaná do v (m-1)tau –propagace z (m-1)tau to m.tau

str. 27 TMF045 letní semestr 2006 V Periodický Hamiltonián –změna v rov. 7 vypadá takto: