Matematická olympiáda 2009/10 Kategorie B Úlohy 3, 5 a 6

3) V rovině je dána usečka AB 3) V rovině je dána usečka AB. Sestrojte rovnoběžnik ABCD, pro jehož středy stran AB, CD, DA označene po řadě K, L, M plati: body A,B, L, D leži na jedne kružnici a rovněž body K, L, D, M leži na jedné kružnici.

Načrtneme libovolný rovnoběžník a označíme v něm délky stran: ABLD je lichoběžník - jedna kružnice prochází body A,B, L, D, musí tedy být rovnoramenný Trojúhelník AKD je rovnoramenný

a/2 b b/2 a a/2 KLDM je lichoběžník - jedna kružnice prochází body K, L, D, M, musí tedy být rovnoramenný Trojúhelník AKM je rovnoramenný Protože KM je střední příčka trojúhelníku ABD, BD = a

Zápis konstrukce: 1) AB; I AB I = a 2) K; K je střed AB 3) k; k = (B, r = a ) 4) o; o je osa AK 5) D; D  o  k 6) Rovnoběžník ABCD VLASTNÍ KONSTRUKCE

5) Uvnitř kratšího oblouku AB kružnice opsané rovnostrannému trojúhelniku ABC je zvolen bod D. Tětiva CD protíná stranu AB v bodě E. Dokažte, že trojúhelnik se stranami délek |AE|, |BE|, |CE| je podobný trojúhelniku ABD. NÁZORNĚ VIZ ZDE

Chceme tedy dokázat, že platí:

  Sestrojíme zadání úlohy a bodem E vedeme rovnoběžku s BC Podle věty o středových a obvodových úhlech doplníme velikosti úhlů 120° Trojúhelník AEF je rovnostranný, protože všechny jeho úhly mají velikost 60° 120° Potom i úhel u bodu F je 120° Platí: AE = EF , CE = CE, EB = FC (rovnoramenný lichoběžník BCFE)  Dokazujeme tedy podobnost trojúhelníků: 120° Úhly označené  jsou shodné, jsou to oba obvodové úhly v dané kružnici nad AD Trojúhelníky ABD a ECF jsou tedy podobné podle věty uu a platí:

Reálná čisla a, b mají tuto vlastnost: rovnice x2 − ax + b − 1 = 0 má v množině reálných čisel dva různé kořeny, jejichž rozdíl je kladným kořenem rovnice x2 − ax + b + 1 = 0. a) Dokažte nerovnost b > 3. b) Pomoci b vyjádřete kořeny obou rovnic. a = 1 , b = -a , c = b - 1 Musí být:

Malá odbočka - rozklad kvadratického trojčlenu a kořeny rovnice: Je vidět, že součet kořenů dává (-1) . číslo před x - v naší rovnici tedy a: Je vidět, že součin kořenů dává absolutní číslo v naší první rovnici tedy: b - 1 a ve druhé rovnici : b+1

Rozdíl kořenů se má rovnat kladnému kořenu rovnice x2 − ax + b + 1 = 0 a = 1 , b = -a , c = b + 1

První rovnice má větší kladný kořen x2 a menší kořen x1 Druhá rovnice má jeden z kořenů x2-x1 Protože jejich součet je stejně jako u první rovnice a , platí, že druhý kořen je: a - (x2-x1) a - (x2-x1) = a - x2+x1 Doplníme-li rovnost pro součet kořenů z první rovnice, dostaneme: = (x2+x1 )- x2+x1 = 2x1 Druhá rovnice má jeden z kořenů x2-x1 a druhý tedy 2x1

Použijeme vztah pro součin kořenů: x1.. x2=b-1 (x2-x1).2x1=b+1 Z druhé rovnice vychází: b = 2x1x2-2x12-1 Dosadíme za x1x2 z prvního vztahu: b = -1+ 2(b-1)-2x12 2x12 +1= 2(b-1)- b b = 2x12 +3 Je vidět, že b>3, protože 2x12>0 : Protože , je x2-x1 >0 a b+1>0, musí být kladný i druhý kořen 2x1

b = 2x12 +3 Z této rovnice dostáváme: A z další rovnice dostáváme: x1.. x2=b-1