Matice přechodu

Matice přechodu od báze U k bázi V U  V Báze U = u1, u2, u3 u1 = (1, 1, 1) u2 = (0, 1, 1) u3 = (0, 0, 1) xU = (1, 1, 1) Báze V = v1, v2, v3 v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, 0) v3 = (0, 0, 1) xV = ?

u1 = a1v1 + a2v2 + a3v3 u2 = b1v1 + b2v2 + b3v3 u3 = c1v1 + c2v2 + c3v3

u1 = a1v1 + a2v2 + a3v3 u2 = b1v1 + b2v2 + b3v3 u3 = c1v1 + c2v2 + c3v3 (1, 1, 1) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1) (0, 1, 1) = b1 (1, 0, 0) + b2 (0, 1, 0) + b3 (0, 0, 1) (0, 0, 1) = c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1)

(1, 1, 1) = 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1) (0, 1, 1) = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 0 (1, 0, 0) + 0 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)

Změna souřadnic při změně báze

A je matice přechodu U  V Známe-li souřadnice vektoru x vzhledem k bázi U, lze vypočítat jeho souřadnice vzhledem k bázi V

A je matice přechodu U  V Známe-li souřadnice vektoru x vzhledem k bázi V, lze vypočítat jeho souřadnice vzhledem k bázi U

Determinanty

Každé čtvercové matici A řádu n lze jednoznačně přiřadit reálné číslo det(A), které nazýváme determinant matice A

Determinant matice A je součet n! členů, včetně znaménka Člen determinantu je součin n činitelů, z nichž žádné dva nejsou z téhož řádku ani z téhož sloupce

Sarrusovo pravidlo

Přiřaďte členům znaménka podle počtu inverzí: c11c22c33 c12c21c33 c11c23c32 c13c22c31 c12c23c31 c13c21c32 (1 2 3) (2 1 3) (1 3 2) (3 2 1) (2 3 1) (3 1 2) 1 3 2 + -

Vypočítejte determinant 1 2 4 3 p = 1 det(A) = –12

Vypočítejte determinant 1 2 3 4 p = 0 det(B) = 6

Vypočítejte determinant 4 3 2 1 p = 6 det(C) = 8

Pravidla pro výpočet determinantů Obsahuje-li matice nulový řádek nebo nulový sloupec, je hodnota determinantu rovna nule. det(A) = 0

Pravidla pro výpočet determinantů det(A) = det(AT) Všechna pravidla, která vyslovíme pro řádky matice platí i pro sloupce matice.

Zaměníme-li dva řádky v matici, determinant změní znaménko. Záměna dvou řádků Zaměníme-li dva řádky v matici, determinant změní znaménko. Obsahuje-li matice dva stejné řádky, je determinant roven nule. det(A) = – det(A) = 0

Vynásobení řádku reálným číslem Vynásobíme-li řádek matice číslem c, determinant se zvětší c-krát.

Přičtení násobku jiného řádku Přičteme-li k jednomu řádku matice c násobek jiného řádku, determinant se nemění.

Subdeterminant Aij matice A příslušným k prvku aij nazýváme determinant matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce

Algebraický doplněk Dij příslušný k prvku aij nazýváme výraz Dij = (–1)i+j Aij

det(A) = ai1Di1 + ai2Di2 + ainDin Rozvoj determinantu Determinant se rovná součtu součinů prvků libovolného (i-tého) řádku a k nim příslušných algebraických doplňků. det(A) = ai1Di1 + ai2Di2 + ainDin

Praktický výpočet determinantů: Rozvoj determinantu provádíme podle řádku (sloupce), kde je nejvíce nul. Nejsou-li v žádném řádku (sloupci) nuly, můžeme determinant upravit tak, abychom v určitém řádku (sloupci) získali všechny prvky s výjimkou jednoho nulové.

Singulární matice Čtvercová Závislé řádky a sloupce Neexistuje inverzní matice Determinant je roven nule

Regulární matice Čtvercová Nezávislé řádky a sloupce Existuje inverzní matice Determinant nenulový

Inverzní matice k regulární matici je regulární matice. Pro determinant matice inverzní k matici A platí:

Adjungovaná matice každý prvek aij nahradíme jeho algebraickým doplňkem Dij a takto vzniklou matici transponujeme

Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní Inverzní matice Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní

Určete inverzní matici det(A) = = 6 + 30 + 6 – 3 – 20 – 18 = = 1  0  A-1 existuje