* 16. 7. 1996 Thaletova věta Matematika – 8. ročník *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte kružnici k (k(S; 5 cm), její průměr AB a body X1; X2; X3; X4 a X5, ležící na k. k X5 Sestrojte trojúhelníky ABX1; ABX2; ABX3; ABX4 a ABX5. X4 . . Změřte velikosti úhlů AX1B; AX2B; AX3B; AX4B a AX5B. X1 . |∢AX1B| = 90° A S B |∢AX2B| = 90° . |∢AX3B| = 90° X3 |∢AX4B| = 90° . |∢AX5B| = 90° X2 *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta X2 Sestrojte kružnici k (k(S; 5 cm), její průměr AB a body X1 (uvnitř kružnice) a X2(vně kružnice). k Y2 . Sestrojte trojúhelníky ABX1; ABX2. Změřte velikosti úhlů AX1B a AX2B. A S B |∢AX1B| > 90° |∢AX2B| < 90° X1 . Y1 *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Jestliže vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici sestrojené nad průměrem AB, je trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C. k C . A S B Kružnici k nazýváme Thaletova kružnice s průměrem AB. *

Thaletova věta (důkaz) * 16. 7. 1996 Thaletova věta (důkaz) C Sestrojte kružnici k (k(S; 5 cm), její průměr AB a bod C, ležící na kružnici. k C a b Sestrojte trojúhelník ABC. . Sestrojte úsečku CS. r ∆ACS a ∆BCS jsou rovnoramenné (s rameny délky r). a b A r r B S Úhly u základen jsou shodné. V ∆ABC platí: a + a + b + b = 180° tj.: a + b = 90°. *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB (|AB| = 85 mm) a odvěsnou AC (|AC| = 35 mm). Rozbor: Postup konstrukce: 1. AB; |AB| = 85 mm k C 2. S; S ∈ AB, |SA| = |SB| t 3. t; t(S, |SA|) a b 4. k; k(A, 35 mm) B 5. C; C ∈ t ∩ k A c S 6. ∆ABC *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB (|AB| = 85 mm) a odvěsnou AC (|AC| = 35 mm). Konstrukce: Postup konstrukce: k C 1. AB; |AB| = 85 mm t 2. S; S ∈ AB, |SA| = |SB| a b 3. t; t(S, |SA|) 4. k; k(A, 35 mm) c B A S 5. C; C ∈ t ∩ k 6. ∆ABC *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte kružnici k(k(S; r = 35 mm) a bod X (|XS| = 85 mm). Sestrojte tečnu kružnice k, procházející bodem X. Bod dotyku označte T a vypočtěte |XT|. Rozbor: Postup konstrukce: 1. k; k(S; r = 35 mm) 2. X; |SX| = 85 mm 3. O; O∈SX, |SO| = |XO| 4. o; o(O, |SO|) 5. T; T ∈ t ∩ k 6. ↔t; T∈↔t, X∈↔t *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte kružnici k(k(S; r = 35 mm) a bod X (|XS| = 85 mm). Sestrojte tečnu kružnice k, procházející bodem X. Bod dotyku označte T a vypočtěte |XT|. Konstrukce: Postup konstrukce: t1 T1 1. k; k(S; r = 35 mm) . 2. X; |SX| = 85 mm r 3. O; O∈SX, |SO| = |XO| S 4. o; o(O, |SO|) O X 5. T; T ∈ t ∩ k 6. ↔t; T∈↔t, X∈↔t T2 t2 *

* 16. 7. 1996 Thaletova věta Sestrojte kružnici k(k(S; r = 35 mm) a bod X (|XS| = 85 mm). Sestrojte tečnu kružnice k, procházející bodem X. Bod dotyku označte T a vypočtěte |XT|. Konstrukce: Výpočet: t1 T1 𝑿 𝑻 𝟏 𝟐 = 𝑺𝑿 𝟐 − 𝑺 𝑻 𝟏 𝟐 . 𝑿 𝑻 𝟏 𝟐 = 𝟖𝟓 𝟐 − 𝟑𝟓 𝟐 r 𝑿 𝑻 𝟏 𝟐 =𝟕 𝟐𝟐𝟓−𝟏 𝟐𝟐𝟓 𝑿 𝑻 𝟏 𝟐 =𝟔 𝟎𝟎𝟎 S O X 𝑿 𝑻 𝟏 = 𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝑿 𝑻 𝟏 =𝟕𝟕 𝑿 𝑻 𝟏 =𝟕𝟕 𝒎𝒎 T2 t2 *

Opakování Co je to kružnice? * 16. 7. 1996 Opakování Co je to kružnice? Množina všech bodů v rovině, které leží ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Jak zní Pythagorova věta? Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. c2 = a2 + b2 Co to je tětiva kružnice? Úsečka spojující dva body na kružnici. Jaký je vztah mezi poloměrem a průměrem kružnice? d = 2∙r Co jsou to soustředné kružnice? Dvě kružnice s různými poloměry, které mají společný střed. *

Opakování Jak zní Thaletova věta? * 16. 7. 1996 Opakování Jak zní Thaletova věta? Jestliže vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici sestrojené nad průměrem AB, je trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C. Co je to kruh? Množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru. Kdy mají kružnice vnitřní dotyk? Pokud se kružnice dotýkají (mají 1 společný bod) a jedna leží uvnitř druhé. Kterými body prochází osa tětivy kružnice? Středem tětivy a středem kružnice. Kolik různých tečen lze vést z bodu na kružnici? Záleží na poloze bodu vzhledem ke kružnici (vnitřní => žádná; na kružnici => jedna; vnější = dvě). *