Hledání minima kvadratického funkcionálu s nehladkým členem přímo a pomocí duality Petr Beremlijski Katedra aplikovaná matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava
Popis problému uu cc c cc f Mějme membránu s pevně uchycenou stranou u
Popis problému – spojitá úloha Na membráně řešme následující úlohu
Popis problému – diskrétní úloha Po diskretizaci dostaneme úlohu
Přímé řešení Minimalizujeme nehladký funkcionál J(U) vhodným algoritmem – bundle trust metodou Bundle trust metoda potřebuje v každé iteraci hodnotu cenového funkcionálu J(U) jeden (libovolný) subgradient z Clarkeova zobecněného gradientu J(U)
Nepřímé řešení Odstraníme nehladký člen přidáním Lagrangeova multiplikátoru Navíc použijeme metodu rozdělení oblasti, pro jejíž realizaci přidáme k úloze omezení BU=0
Nepřímé řešení Omezení BU=0 realizujeme přidáním dalšího Lagrangeova multiplikátoru
Nepřímé řešení Pomocí dualizace pak dostaneme následující úlohu kvadratického programování Přímé řešení získáme
Výsledky
Porovnání výsledků Velikost primární sítě Velikost duální sítěRychlost řešení přímou metodou Rychlost řešení nepřímou metodou 289 uzlů111 uzlů2.3 s1.7 s 1089 uzlů207 uzlů14.1 s5.6 s 4225 uzlů399 uzlů368.1 s24.6 s 9409 uzlů591 uzlů s73.3 s
Porovnání výsledků Velikost primární sítě Velikost duální sítěRychlost řešení nepřímou metodou 2401 uzlů99 uzlů7.8 s 9409 uzlů591 uzlů54.1 s uzlů1475 uzlů220.5 s uzlů2751 uzlů852.9 s
Výhled zavedení projektorů ověření numerické škálovatelnosti algoritmu