CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Leden a. PŘEDNÁŠKA Modelování 2

leden 2012 … SE TÝKÁ modelování …. ☺ POKRAČOVÁNÍ

březen 2010 Aplikační možnosti Aplikační možnosti simulačních modelů odpovídají vývoji v oblasti logistických systémů samotných. Do návrhu simulačních modelů se promítají zejména následující nové vlastnosti logis- tických systémů: Modelování a simulace

březen 2010 Logistické řetězce se vyvinuly v mnohem větší sítě nezávislých subjektů, které mají různé priority, motivy spolupráce a často protikladné zájmy. Velmi důležitou se stává koordinace mezi těmito subjekty - organizacemi. Modelování a simulace

březen 2010 Simulace musí postihovat outsourcing, stra- tegické aliance, konkurenci v rámci podniků i distribučních řetězců, logistické systémy za- bezpečované "třetími stranami“ apod. To znamená – veškeré činnosti i vztahy a závislosti vyskytujícími se v reálném životě. Modelování a simulace

březen 2010 Paradigma logistických systémů se posou- vá od nabídky k poptávce, na strukturu a ří- zení logistických systémů mají rozhodující vliv požadavky zákazníků. To znamená potřebu vývoje nových konceptů logistického řízení. Modelování a simulace

březen 2010 Simulace je schopna porovnat tahové a tla- kové strategie, dodavatelský a odběratelský přístup k distribučním řetězců, výrobu na sklad a na zakázku, vyhodnotit efektivní ode- zvy na požadavky zákazníků. Modelování a simulace

březen 2009 Prudce vzrůstá rozsah a složitost logistic- kých systémů, což vede k nutnosti jejich de- centralizovaného řízení. Simulační modely musí být schopny posti- hovat takovéto globální distribuční řetězce. Modelování a simulace

březen 2009 V důsledku krátkých dodacích lhůt a životních cyklů výrobků se zrychluje dynamika distri- bučních řetězců. V mnoha případech jsou vztahy mezi partnery v rámci logistických systémů vytvářeny "ad hoc" a často se mění. Modelování a simulace

březen 2009 Je potřebné simulovat systémy s dynamic- kou alokací zdrojů, online rozvrhováním a robustním plánováním. Používá se koncept virtuálního podniku, mo- delují se procesy související s e-businessem, testuje se vliv různých synergických efektů. Modelování a simulace

březen 2009 Holistický přístup k simulaci Označuje přístup, který chápe sledovaný systém jako celek. V oblasti simulace to zna- mená schopnost využití informace potřebné k tvorbě simulačního modelu ve fázi návrhu systému i v dalších fázích života systému při jeho testování a provozu. Díky integraci s ji- nými podnikovými systémy je možné částeč- ně automatizovat tvorbu simulačních modelů. Modelování a simulace

březen 2009 Systémové modelování Metodologie systémového modelování se za- bývá obecnými problémy spojenými s modelo- váním reálných systémů pomocí abstraktních systémů představovaných abstraktními mode- ly. V průběhu modelování jsou konkretizovány obecné pojmy a procesy použitého systémo- vého modelování. Modelování a simulace

březen 2009 Modelování umožňuje studovat vztahy podob- nosti mezi systémy, jakékoliv stavy v systé- mech, problematiku zjednodušování reálných objektů (aby byly modelovatelné), problema- tiku reálných měření veličin systému, problé- my formulací hypotéz o dalším vývoji, atd. Modelování a simulace

březen 2009 Modelování a simulace problémová situace realita implementace systémového řešení problému nová formulace problému relevantní systémové modely formulace problému SYSTÉMOVÉ MODELOVÁNÍ relevantní systémové modely koncepční systémové modely formulace problému

březen 2009 OPTIMALIZAČNÍ MODELOVÁNÍ Postupů vedoucích k nalezení optimálního řešení daného problému je celá řada. Patří mezi ně i matematické modelování, které umí najít rozhodnutí splňující předem definované (zadané) podmínky (kritéria). Modelování a simulace

březen 2009 Je jednou za základních oblastí operačního výzkumu. K jeho pracovnímu postupu je po- třeba, aby problém byl popsán pomocí tzv. optimalizačního modelu. Modelování a simulace

březen 2009 Optimalizační model Optimalizační model má tři části – pomocí proměnných se za prvé vyhledají (vypíší) jed- notlivé prvky rozhodnutí – ve druhé jsou po- mocí soustavy omezujících podmínek popsá- ny možné hodnoty proměnných – ve třetí pak optimalizace pomocí formulovaného kritéria vhodné funkce. Postup řešení vychází z matematické analýzy a vyšetřování (nalezení) extrému funkce. Modelování a simulace

březen 2009 Kritérium je zobrazeno funkcí, jejíž extrém se hledá. Omezující podmínky jsou zapsány ve formě nerovnic nebo rovnic (čili matematickým aparátem – tím se matematické modely liší od jiných modelů a metod) a musí splňovat pod- mínky kladené na řešení. Jako všude, kde je využíváno matematiky, je i zde celá řada prakticky rovnocenných způ- sobů a metod. Modelování a simulace

březen 2009 V podstatě je trojí typ veličin, jejichž opti- mum hledáme - minimální vstup do systému při daném vý- stupu (minimalizace výrobních nákladů při tr- valém objemu produkce) - maximální výstup ze systému při daném vstupu (maximální produkce při daných suro- vinách) - maximální rozdíl mezi výstupem a vstupem (maximalizace zisku). Modelování a simulace

březen 2009 Obecný optimalizační model Optimalizační úloha neboli model matematic- kého programování slouží k popisu klasických úloh hledání extrému. Výsledkem je řešení, které je omezeno řadou podmínek, kterým musí vyhovět, stejně tak jako musí vyhovět i uvažovaným (zadaným) kritériím. Modelování a simulace

březen 2010 Nutno poznamenat, že matematické optimum nemusí vždy být shodné s ekonomickým opti- mem, neboť vložení ekonomických podmínek a omezení může zkomplikovat model natolik, že je prakticky neřešitelný. Modelování a simulace

březen 2010 Řešení je totožné s rozhodnutím, a jeho prvky je popsáno vektorem proměnných (jejich slo- žek, které vyjadřují rozsah jednoho procesu, aktivity nebo prvku rozhodnutí). Modelování a simulace

březen 2009 Vektor proměnných má tvar: x = (x 1, x 2,..., x n ) T Є R n Možné řešení se svými variantami rozhodnutí, je ovlivněno omezujícími podmínkami. Jejich matematický tvar: q ( x ) ≤ 0 kde: q ( x ) je reálná funkce proměnných x 1, x 2,..., x n. Modelování a simulace

březen 2010 Optimální modely Optimální modely se dělí: 1. podle počtu kritérií jednokriteriální optimalizační model vícekriteriální optimalizační model Modelování a simulace

březen podle typu kriteria minimalizační model (hledá se minimum účelové funkce) maximalizační model (hledá se maximum účelové funkce) cílový model (kriteriem je rozhodnutí o do- sažení předem daného výsledku, cíle) Modelování a simulace

březen podle použitých funkcí lineární optimalizační modely (používají pouze lineární funkce a jsou obecně řešitelné simplexovým algoritmem) nelineární optimalizační modely (v jejich matematickém popisu je alespoň jedna nelineární funkce), které se dále dělí …….. Modelování a simulace

březen 2010 Nelineární optimalizační modely Nelineární optimalizační modely se dále dělí: konvexní model s minimalizací účelové fun- kce obsahuje pouze konvexní funkce, případ- ně účelová funkce je konvexní funkcí a množi- na přípustných řešení je konvexní množinou konkávní model v tom případě musí mít účelovou maximalizační konkávní funkci, což se vztahuje i na případnou konkávní množinu. Modelování a simulace

březen 2010 konvexní kvadratický model je velice zná- mý, jeho množina přípustných řešení je defi- nována pomocí lineárních funkcí a kriterium je definováno kvadratickou funkcí nekonvexní modely – to jsou všechny os- tatní optimalizační modely, které jsou skupi- nou špatně (obtížně) řešitelských úloh. Modelování a simulace

březen 2009 Analytické metody řešení optimalizačního modelu úloha na vázaný extrém – to je klasická úloha nalezení extrému funkce na části jejího definičního oboru – nazývá se též úlohou na- lezení extrému podél funkce křivky úloha na volný extrém – je úlohou naleze- ní minimální hodnoty funkce na jejím celém definičním oboru Modelování a simulace

březen 2009 konvexní optimalizační model – je úlo- hou nalezení minima konvexní účelové fun- kce f (x) pro všechny vektory x z konvexní množiny M. Modelování a simulace

březen 2010 Gradientní metody Jsou to prostředky hledání řešení konvexního optimalizačního modelu. Zjednodušeným základem je postupné pro- cházení (s iteracemi využívajícími vlastnosti gradientu růstu funkce) přípustných řešení a hledání toho nejlepšího z nich. Modelování a simulace

březen 2010 Přitom lze uvažovat se všemi omezujícími podmínkami. Jistým praktickým problémem je správná volba iteračního kroku (jeho vhodné velikosti) – případně použití měnící se velikosti tohoto kroku. Modelování a simulace

březen 2010 Penalizační metody Optimalizační model se převádí na hledání a nalézání extrémů posloupnosti určitých (vy- braných) funkcí definovaných na základě pů- vodní účelové funkce, omezujících podmí- nek a posledního existujícího řešení. Modelování a simulace

březen 2010 Podmínka = penalizační funkce (ovlivňující původní funkci) f P ( x ) musí vést posloup- nost řešení k výsledku - musí mít svoji limitu stejně jako řešení x opt. Modelování a simulace

březen 2009 Heuristické metody Základem je vyšetřování velkého množství přípustných řešení a hledání optimální podoby řešení – obvykle není zvládnutelné prozkou- mat úplně všechna řešení, jedná se spíše o suboptimalitu (ve smyslu výlučnosti existence „neznámého“ lepšího, optimálnějšího řešení). Výchozím krokem je (obvykle náhodné) ge- nerování nového přípustného řešení. Modelování a simulace

březen 2010 Přípustné řešení M P z množiny řešení M nebo přímo z okolí perspektivního přípustného řešení x 0. Pak je pro každé nové přípustné řešení x k je vypočtena účelová funkce f (x k ), a ta je po- rovnána s již získanými výsledky. Modelování a simulace

březen 2010 Následuje test optimality. Pokud má některé z nalezených řešení do- statečně „dobrou“ a blízkou hodnotu účelové funkce (kterou nelze vůbec nebo jen velice málo (nepodstatně) zlepšit) je prohlášeno za optimální. Modelování a simulace

březen 2009 STOCHASTICKÉ MODELY V analytických řešeních a v rozhodovacích procesech se často používají tzv. Markovské řetězce, což jsou nejjednodušší stochastické modely. Jejich matematický aparát je jednoduchý a předpoklady natolik obecné, že je možné jejich široké nasazení a aplikační využití. Modelování a simulace

březen 2009 Stochastické modely Stochastické modely jsou modely zobrazu- jící systémy, kde alespoň jedna ze vstupních informací je zadána jako náhodná veličina nebo stochastická (náhodná) funkce. Náhodná veličina je definována pravděpodob- nostním rozdělením a jeho charakteristikami. Stochastická funkce obsahuje jak vlastnosti nenáhodné funkce, tak i vlastnosti náhodné veličiny. Modelování a simulace

březen 2010 Součástí stochastického modelu může být funkce rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny, stochastická funkce nebo jiný popis stochastického prvku (tabulka funkčních hod- not, funkce popisující hodnoty subjektivních pravděpodobností atd.). Modelování a simulace

březen 2010 Cíl = najít zákonitosti vývoje modelovaného procesu, aby bylo možné předvídat budoucí chování procesu a tím umožněno hodnocení. Modelování a simulace

březen 2010 Algoritmy řešení stochastických modelů jsou celkem náročné a tak se často používají jiné postupy – zejména ty, které jsou založeny na heuristických přístupech. Náhodné veličiny vstupních informací, které se vyskytují v mo- delu (byť to byla pouze jediná), znamenají, že všechny výsledné informace jsou také náhod- nými veličinami a je nutné uvádět je ve formě charakteristik náhodných veličin (tabulek, poměrů, rozptylů, výskytů, grafů apod.). Modelování a simulace

březen 2010 Stochastickým procesem nebo náhodnou funkcí se rozumí každá funkce X(t), která má za hodnotu náhodnou funkci při dané hodnotě argumentu : X ( t ) = X ( e, t ) … pro pravděpodob- nost P, že v jistém čase t nastane jev e P X ( t ) = e. Argument e je elementární jev (tak jsou často nazývány stavy stochas- tického procesu), prvek množiny elementárních jevů. Argument t většinou představuje čas. Modelování a simulace

březen 2009 Platí, že realizace stochastického procesu je nenáhodnou funkcí argumentu t v závis- losti X (t) = X (t, e t ) když pro každý okamžik t nabývá hodnoty e t. Jednu z klasifikací stochastických procesů závisejících na proměnných e a t ukazuje tabulka. Modelování a simulace

březen 2010 Modelování a simulace Názvy a stavy JEV … e diskr é tn í spojitý ČAS … t diskr é tn í diskr é tn í řetězec spojitý řetězec spojitý diskr é tn í proces spojitý proces

březen 2010 Markovské řetězce Popisují chování procesů, které jsou diskrétní v čase i jevech. Umožňují pomocí jištěných zákonitostí hod- notit chování procesů v budoucnosti. Modelování a simulace

březen 2010 Na Markovské řetězce lze pohlížet i jako na posloupnosti náhodných veličin { X n } - pro n znamenajícím časový krok. Jednotlivé stavy, které mohou v Markovském řetězci nastat, se označují posloupností E 1, E 2, E 3, …, Modelování a simulace

březen 2010 Je zřejmé, že stav Markovského řetězce v kroku m, je závislý vždy jen na jeho stavu v kroku m-1. Následující vztah platí obdobně pro homo- genní i pro nehomogenní Markovské řetězce. Modelování a simulace

březen 2010 Pro výpočet pravděpodobnosti přechodu p ij (n) homogenních řetězců ze stavu i do stavu j během n kroků platí Markovova rovnice: p ij (n) = ∑ p ik (m) * p ik (n-m) … sumace pro k a pro m = 1, 2, …, n-1. Modelování a simulace

březen 2010 Metoda Monte Carlo Je to celá třída algoritmů pro simulaci systé- mů. Jde o stochastické metody používající ná- hodná čísla. Typicky je využívána pro výpočet integrálů, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní. Modelování a simulace

březen 2010 Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost. Modelování a simulace

březen 2010 Metoda Monte Carlo je založena na provádě- ní náhodných experimentů (proto je také poj- menována po městě Monte Carlo) s modelem systému a jejich vyhodnocení. Je třeba mít kvalitní generátory pseudo-ná- hodných čísel (netřeba skutečně náhodná čísla). Modelování a simulace

březen 2010 Výsledkem Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu. Na základě získané pravděpodobnosti a známých vztahů se spočítají potřebné výsledky. Modelování a simulace

…..… cw05 – p. 9a POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace k „Metodám“ pokračují …… Leden 2012

……… cw05 – p. 9a