Vinné sudy jako inspirace vzniku infinitezimálního počtu Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku

Motto: „Každé duševno musí být materiálně vyfutrované.“ Jan Werich

Anotace:  Zjištné důvody přivedly v roce 1615 J.Keplera ( ) k vydání spisu Nova stereometria doliorum vinariorum (Nová stereometrie vinných sudů), kde pomocí infinitesimálních úvah určuje objem rotačních těles metodou rozdělení tělesa na nekonečně mnoho nekonečně malých částí.

Matematická rozcvička: Úloha 1 Dva sudy obsahují určité množství vína, v prvním je Syrah, ve druhém Grenache. Jestliže z prvního nalijeme do druhého právě tolik vína, kolik tam již je, potom z druhého do prvního právě tolik vína, kolik tam již je, a opět z prvního do druhého právě tolik, kolik tam již je, bude v každém ze sudů 160 litrů vína. Kolik litrů bylo v každém sudu na začátku? Jaký bude podíl vín ve vzniklém cuvée v jednotlivých sudech?

… a řešíme úvahou („zpětný chod“) První sud Druhý sud Celkem Začátek =240160:2=80320 Konec

…druhý krok První sud Druhý sud Celkem Začátek 240:2= = =240160:2=80320 Konec

… a hotovo, První sud Druhý sud Celkem Začátek = :2= :2= = =240160:2=80320 Konec

… nebo výpočtem První sud Druhý sud Začátekab

… jako ve škole První sud Druhý sud Začátekab a-b2b

… pokračujeme První sud Druhý sud Začátekab a-b2b 2(a-b)2b-(a-b)

… máme potřebné vztahy První sud Druhý sud Začátekab a-b2b 2(a-b)2b-(a-b) Konec 2(a-b)-(2b-(a-b)) = 2(2b-(a-b) = = 3a - 5b = = 6b - 2a = = 160

… řešíme výpočtem  Soustava dvou rovnic o dvou neznámých: 3a - 5b = 160 3a - 5b = a + 6b = a + 6b = 160 a = b b = 100 a = 220

… a ještě jinak.  Soustava dvou rovnic o dvou neznámých: 3a - 5b = 160 3a - 5b = a + 6b = a + 6b = 160 a = b b = 100 a = 220  Diofantická rovnice: 3a - 5b = 6b – 2a 5a = 11b a:b = 11:5 a:b = 11:5 320 : 16 = 20 a:b = 220:100

Vypočtěme podíly… První sud - Syrah Druhý sud - Grenache Pohyb Začátek220s100g100s

(úvahou) (úvahou) První sud - Syrah Druhý sud - Pohyb Začátek220s100g100s 120s 100s + 100g 60s + 60g

(a názorně) První sud Druhý sud Pohyb Začátek220s100g100s 120s 100s + 100g 60s + 60g 180s + 60g 40s + 40g 60s + 20g Konec 3s : 1g 100s : 60g

…v cuvée První sud - Syrah Druhý sud - Grenache Pohyb Začátek220s100g100s 120s 100s + 100g 60s + 60g 180s + 60g 40s + 40g 60s + 20g Konec 3s : 1g 75%s + 25%g 5s : 3g 62,5%s+37,5%g

Úloha 2 Mějme dva sudy. V prvním z nich je určitý objem vína, ve druhém týž objem vody. Z prvního sudu přelijeme určitý objem vína do druhého sudu, a pak tentýž objem směsi do prvního sudu. Dokažte, že poměr objemu vína a vody v prvním sudu bude týž jako poměr objemu vody a vína ve druhém sudu.

Konkrétně vínovodapohyb Začátek 100v í 100v o 25v í 75v í 100v o +25v í 20v o +5v í Konec 95v í + 5v o 95v o +5v í 95v o +5v í A je to.

JOHANNES KEPLER  německý matematik, astrolog a astronom, německýmatematik astrologastronom německýmatematik astrologastronom  27. prosince 1571 Weil der Stadt, 27. prosince1571 Weil der Stadt 27. prosince1571 Weil der Stadt  15. listopadu 1630 Regensburg. 15. listopadu listopadu1630

Život (z bulvárních zdrojů) …  Studoval na univerzitě v Tübingenu, vyučoval na střední škole v Grazu.  V roce 1600 odchází do Prahy a po smrti Tychona Brahe se stává císařským matematikem a astrologem  Ztotožňoval se s odsouzením Giordana Bruna a jeho Giordana BrunaGiordana Bruna učení o Vesmíru plném sluncí považoval za kacířství.  Do moderních astrologických učebnic vstoupil zejména horoskopem Albrechta z Valdštejna, který sestavil bez znalosti konečného zákazníka v roce 1608 a v němž velmi přesně předpověděl Valdštejnovu smrt. Albrechta z Valdštejna1608Albrechta z Valdštejna1608  Podle některých životopisců trpěl v pozdějším věku krátkozrakostíkrátkozrakostí a hvězdy patrně vůbec neviděl. krátkozrakostí

...a dílo  Mysterium Cosmographicum (1596)  Astronomia nova (1609) Astronomia nova Astronomia nova  Nova stereometria doliorum vinariorum (1615)  Harmonices mundi (1619) Harmonices mundi Harmonices mundi

Johannes Kepler: Nova stereometria doliorum vinariorum (1615)

Obsah kruhu Obsah výseče S54 se přibližně rovná obsahu trojúhelníku S S r r

Budeme-li zjemňovat dělení kruhu, bude se obsah výseče blížit obsahu trojúhelníku S r r

Až bude velikost oblouku 45 menší než malá, budou se obsahy výseče a trojúhelníku rovnat. P = ½ z x v = ½ I45I x r S r r

Obsah kruhu je roven součtu obsahů všech výsečí, tedy je roven obsahu trojúhelníku S45 P = ½ z x v = ½ I08I x r = ½ 2πr x r P = πr 2 Obsah kruhu je roven součtu obsahů všech výsečí, tedy je roven obsahu trojúhelníku S45 P = ½ z x v = ½ I08I x r = ½ 2πr x r P = πr S r r

Objem koule = =1/3 povrchu x poloměr

Objem anuloidu  t = (t 1  t = (t 1 + t 2 )/2   k = ∑ (t→0) t = πd   V = P x k = πr 2 x πd P d k t1t1 t2t2