FII-11 Úvod do moderní fyziky 22. 5. 2006

Hlavní body Nástin teorie relativity Pád klasické fyziky Principy kvantové mechaniky Základy jaderné fyziky Problémy současné kosmologie Jak starý je vesmír a čas? Je ve vesmíru život? 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity I Teorie relativity se zabývá problémem vztažných soustav a jejich případné ekvivalence nebo vyjímečnosti. Speciální TR se zabývá soustavami inerciálními Obecná TR se zabývá soustavami neinerciálními 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity II Po strastiplném vývoji fyziky byl přijat princip kovariance – pozorovatelé v každé soustavě vidí svět řízený stejnými fyzikálními zákony. Fyzikální veličiny ale nejsou obecně invariantní, tedy jejich konkrétní hodnota může být různá. Dlouho se předpokládala platnost Galileova principu, který stanovil, že zákony mechaniky mají ve všech soustavách stejný tvar a čas běží všude stejně rychle. 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity III Experiment ovšem ukázal, že ve všech soustavách je konstantní rychlost světla. Tento fakt musel být přijat za jeden ze dvou základních postulátů STR. Druhý stanoví, že fyzikální jevy jsou ve všech inerciálních soustavách popsány zákony, které mají stejný tvar. Nutným, i když překvapivým důsledkem je, že v každé soustavě běží vlastní čas. 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity IV Dalším důsledkem je, že prostorové a časové souřadnice spolu úzce souvisí a tvoří společné souřadnice časoprostorové. Časoprostorové souřadnice v jedné soustavě závisí na časoprostorových souřadnicích v soustavě druhé. Závislost popisuje Lorentzova transformace, jejíž speciální formu uvedeme. 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity V Předpokládejme, že čárkovaná soustava se pohybuje vůči nečárkované rychlostí u ve směru osy +x potom : kde : 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity VI Pro rychlosti u menší než cca 10% c je   1 a platí téměř přesně Galileovská relativita, tedy x’  x – ut a t’ = t . S přibližováním u k c roste  do nekonečna a tím se zvětšují i relativistické efekty. Zajímavým relativistickým jevem je i skládání rychlostí v klasické mechanice zcela neobvyklé. 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity VII Pohybují-li se dvě soustavy vůči jisté inerciální soustavě rychlostí u resp. v, je jejich vzájemná rychlost w : Zřejmě, je-li u nebo v rovno c, je i w = c. 22. 5. 2006

Rozdílný tok času I O rozdílném toku času navzájem se rovnoměrně pohybujících pozorovatelů se lze přesvědčit jinou jednoduchou úvahou: Pozorovatel B má hodiny, které pracují se světelným paprskem, odrážejícím se střídavě od dvou zrcadel kolmo na směr vzájemného pohybu soustav, např. ve směru osy y’, vzdálenými od sebe Y’=Y. Nejvhodnější jednotkou času je doba, mezi dvěma následujícími odrazy od stejného zrcadla, protože se v jeho soustavě odehrají v místě o přesně stejných souřadnících. Stejný paprsek pozoruje i pozorovatel A. 22. 5. 2006

Rozdílný tok času II Pozorovatelé naměří časy: B: t’ = 2Y/c; A: t = 2L/c. Protože je zjevně L > Y a rychlost světla c je v obou soustavách stejná, musí být t > t’. Pomocí Pythagorovy věty dostaneme přesně stejný výsledek jako výše: 22. 5. 2006

Rozdílný tok času III Stejného výsledku musíme dosáhnou i pomocí libovolných jiných hodin. V důsledku principu kovariance totiž musí v určité inerciální soustavě běžet všechny hodiny stejně rychle. Jinak by se měřením dala tato soustava odlišit od jiných, čili by byla speciální. Všimněme si, že takzvaný správný čas, tedy ten měřený v soustavě, kde se události odehrávají na stejném místě, je čas nejkratší možný. 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity VIII Relativistická dynamika ukazuje, že hmotnost tělesa, která je ve své pohybující se soustavě m0, se jeví v soustavě pevné větší : Pomocí této relativistické hmotnosti lze potom definovat hybnost a celkovou energii : 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity IX V soustavě, vůči které je těleso v klidu, musí mít tedy klidovou energii : a rozdíl klidové a celkové energie je roven energii kinetické : Souvislost obou energií a hybnosti je vyjádřena : 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity X Klidová energie elektronu je : Elektron urychlený napětím U získá kinetickou energii Ue [eV]. Potom lze například určit jeho rychlost (nejlépe vztaženou k rychlosti světla): Například pro U = 10 MV je  = 0,99882 22. 5. 2006

Nástin teorie relativity XI Při urychlování tedy rostou kinetická a celková energie a hybnost. Roste i rychlost, ale jen se asymptoticky přibližuje k rychlosti světla. Obecná TR vychází z postulátu, že fyzikální zákony musí být vyjádřeny v takové formě, která je invariantní v jakkoli se pohybující soustavě. Pozorovatel nemůže rozlišit, zda je v gravitačním poli nebo zrychlené soustavě. Gravitační pole zakřivuje časoprostor. Světlo, šířící se přímočaře, se ve skutečnosti šíří po křivce. (Merkur, zatmění) 22. 5. 2006

Pád klasické fyziky I Na konci 19. století se nahromadily experimenty, které dokazovaly principiální odlišnost mikrosvěta od světa makroskopického. Nejzávažnější výsledky ukazovaly na kvantování mikroskopických veličin (fotoelektrický jev, teplotní záření černého tělesa) a na dualismus vln a částic (Comptonův jev). Byla přijata De Broglieho hypotéza o dualismu vln a částic : 22. 5. 2006

Pád klasické fyziky II Vychází se z analogie s fotony, u kterých E = hf a m0 = 0, což z předchozího vede na E = cp atd. Je zřejmé, že vlny odpovídající makroskopickým tělesům jsou (zatím?) neměřitelně krátké, ale v mikrosvětě je tomu jinak. Běžící člověk (100 kg, 10 m/s)   10-37 m Brouk Pytlík (0.001 kg, 1 cm/s)   10-29 m Elektron (9.1.10-31 kg, 1.106 m/s)   10-10 m 22. 5. 2006

Pád klasické fyziky III Experimenty, které způsobily pád klasické fyziky: Fotoelektrický jev a Comptonův jev Rentgenovo záření Bohrův model (elektronového obalu) atomu De Brogliho hypotéza dualismu vln a částic Principy kvantové mechaniky: Relace neurčitosti Popis veličin pomocí vlnové funkce a operátorů Schrödingerova rovnice a příklady jejího použití 22. 5. 2006

Kvantová teorie I Ukazuje se, že v mikrosvětě platí princip neurčitosti. Částice principiálně nemá současně přesně určenou určitou složku hybnosti a odpovídající souřadnici. Jinou podobnou dvojicí je doba života a energie. Upřesňuje-li se jedna veličina, rozmazává se druhá a tato vlastnost nesouvisí s naší schopností veličiny měřit, ale je principiální 22. 5. 2006

Kvantová teorie II Popis mikrosvěta může tedy mít jen charakter pravděpodobnosti. Můžeme říct, že se částice vyskytuje v dané oblasti s určitou pravděpodobností a že její hybnost, moment hybnosti, energie atd. mají určité pravděpodobné hodnoty. Například elektronové orbitaly vyjadřují množinu bodů, kde je nejvyšší pravděpodobnost výskytu elektronů. 22. 5. 2006

Kvantová teorie III Konkrétně se popis provádí pomocí (komplexní) vlnové funkce. Její druhá mocnina udává pravděpodobnost výskytu částice v daném bodě. Působením jistými operátory lze pomocí ní určit další veličiny, například hybnost částice. Vlnová funkce se počítá řešením Schrödingerovy rovnice. Ukážeme si její použití pro případ volné částice a částice v potenciálové jámě. 22. 5. 2006

Jaderná fyzika I Zabývá se strukturou atomového jádra a procesy, které v něm probíhají. Klíčovými momenty byl objev radioaktivity Becquerelem a objev atomového jádra Ruthefordem. bylo zjištěno, že atomy vyzařují tři typy záření ,  a  při ostřelování zlaté folie částicemi  se zjistilo, že kladný náboj musí být v atomu koncentrován v oblasti, která je cca 105 krát menší než celý atom. Postupně byly nalezeny základní jaderné částice nukleony, kterými jsou protony a neutrony a nacházejí se další. 22. 5. 2006

Jaderná fyzika II Prvky jsou charakterizovány atomovým neboli protonovým číslem Z. Mohou ale mít různé izotopy, které se liší neutronovým číslem N a tím i číslem hmotnostním A = Z + N. Objem atomového jádra je úměrný počtu nukleonů. Nukleony tedy v jádře zůstávají individualitami. Poloměr jádra lze vyjádřit pomocí empirického vztahu : 22. 5. 2006

Jaderná fyzika III Jádra atomů drží pohromadě pomocí tzv. silných interakcí, které překonávají elektrické odpuzování, ale jsou krátkodosahové. U velkých jader již nestačí překonávat Coulombovské odpuzování a jádra mají tendenci se rozpadat. Důvody pro to, že atomy vyzařují častice  a ne jenom protony jsou energetické. Na deficitu energie částic vázaných v jádře vazebnými silami a částic volných je založená jaderná energetika. 22. 5. 2006

Jaderná fyzika IV Atomová hmotnost je součet hmotností všech komponent celého atomu, čili (hlavně) nukleonů a elektronů. Kromě v kg se vyjadřuje v atomových hmotnostních jednotkách, které jsou definovány tak, že atom má hmotnost 12 u = 12 .(1.6605.10-27 )kg. objekt kg u MeV/c2 elektron 9.1094.10-31 0.00054858 0.51100 proton 1.67262.10-27 1.007276 938.27 atom H 1.67353.10-27 1.007825 938.78 neutron 1.67493.10-27 1.008665 939.57 22. 5. 2006

Jaderná fyzika V V určitých případech při syntéze lehkých jader je výsledné jádro nepatrně lehčí než komponenty. V případech jiných se uvolňuje energie při rozpadu těžkých jader na jádra střední. Například při rozpadu je rozdíl hmotnosti na jeden atom m = – 4.56 u, tomu odpovídá uvolněná energie 4,25 MeV, což při obrovských množstvích atomů v makroskopických hmotnostech (Na) hodně. 22. 5. 2006

Vyhořelé jaderné palivo I Problém vyhořelého jaderného paliva je zveličován různými lobistickými skupinami, které pro své cíle zneužívají důvěřivosti laického obyvatelstva, např. Jihočeských matek. Protože energie je pro civilizaci zásadní a návrat k přírodě nereálný, je třeba problémy racionálně řešit. Skutečnosti jsou zhruba následující: Nabízejí se dvě varianty, buď umístění vyhořelého paliva do konečných úložišť nebo jejich přepracování na dále využitelné látky. Zatím se palivové články dávají na 40-50 let do meziskladů v místě elektráren. 22. 5. 2006

Vyhořelé jaderné palivo II Je vysoce pravděpodobné, že se lidstvo vydá cestou přepracování. Zatím je to dražší varianta, ale je téměř jisté, že v tomto směru bude dosaženo dalšího pokroku. Vyhořelý palivový článek obsahuje 95% 238U, 1% 235U a 1% 239Pu. Tyto suroviny lze např. ozařováním neutrony dále přeměnit a využít. Pouze zbylá 3% zatím využít nedovedeme a u nich se plánuje uložení do konečných úložišť. Těchto látek je asi 22. Z reaktoru 3 GW je jich dohromady cca 300 kg za rok a liší se samozřejmě zastoupením a poločasem rozpadu. 22. 5. 2006

Jak je starý čas? I Otázkami jestli vesmír vznikl a jestli zanikne a kdy k tomu došlo nebo dojde, se lidé zabývali odnepaměti. Nejvíce ale filosofové a teologové, kteří vytvářeli jisté myšlenkové konstrukce na základech, které se nedají podpořit, ani vyvrátit. Současně se na tyto otázky snažili odpovědět i vědci, ale na základě pozorování. Věda pracuje cestou hypotéza -> model -> teorie, např. Koperník -> Kepler -> Newton 22. 5. 2006

Jak je starý čas? II Po staletí lidé prováděli astronomická i jiná fyzikální pozorování a učinili řadu významných objevů. Ale až ve 20. Století a zvláště na jeho konci se nahromadil dostatek důkazů pro vybudování věrohodných představ (hypotéz) o historii a snad i budoucnosti vesmíru. Jedinou “nectností” těchto představ je, že lidé extrapolují informace, získané v určitém omezeném prostoru a čase. 22. 5. 2006

Jak je starý čas? III Existují ale závažné “polehčující okolnosti”. Rozborem spekter vzdálených objektů můžeme učinit závěry a fungování fyzikálních a chemických zákonů v obrovské vzdálenosti. Víme například, že tam existují stejné prvky, jako na Zemi a v jejím okolí. Pohled do vzdáleného vesmíru je díky konečné rychlosti světla vlastně pohledem hluboko do minulosti. 22. 5. 2006

Jak je starý čas? IV Významné objevy : rudý posuv ve spektrech vzdálených galaxií, který svědčí o tom, že se od sebe vzdalují tím rychleji, čím jsou tyto galaxie dále. reliktní záření odpovídající teplotně 2.7 K rozpínajícího se vesmíru v teplotní rovnováze. evoluce vesmíru – vzdálené galaxie vypadají jinak existence primordiálního (které nemohlo vzniklo ve hvězdách) helia 22. 5. 2006

Jak je starý čas? V Vývoj vesmíru od určitého okamžiku popisuje standardní model: Vesmír začal ze singularity velkým třeskem, procesem obráceným ke vzniku černých děr. V něm počaly platit současné fyzikální zákony a principiálně nelze zjistit, co předcházelo. V prvních zlomcích sekundy se od sebe oddělily čtyři (zatím) známé základní síly: silná, slabá, elektrická a gravitační. Model nepopisuje úplný začátek a neumí samozřejmě najít své okrajové podnínky. 22. 5. 2006

Jak je starý čas? VI Zatím se proto neví, další vývoj, zda bude vesmír nadále expandovat nebo se zastaví nebo se bude smršťovat. Každopádně, neměl by zaniklnout minimálně dalších 20 miliard let a čas půjde stále dopředu. Ke studiu je třeba přibrat kvantovou teorii, a tedy i její princip neurčitosti. Kandidátem na lepší model je inflační kosmologický model, který vysvětluje úplný začátek a musí odpovědět na nejvážnější současné problémy: 22. 5. 2006

Jak je starý čas? VII vysokou homogenitu a izotropnost vesmíru zároveň jisté existující nehomogenity plochost vesmíru poměr mezi jednotlivými složkami hmoty vznik přebytku hmoty nad antihmotou absence pozorovatelných topologických singularit problém počáteční singularity 22. 5. 2006

Jak je starý čas? IV Důležité závěry zatím jsou : vesmír existuje přibližně 15 miliard let a rozpíná se : složení je 70% temná energie, 25% temná chladná nebaryonová hmota a 5% baryonová hmota a malá příměs horké temné látky Kdyby vesmír existoval vždy, musel by být podle 2. věty TD naprosto neuspořádaný a v každém bodě oblohy by byla hvězda a každá ploška oblohy by zářila jako Slunce. Jediným důvodem, proč tomu tak není, je že hvězdy svítí od určitého okamžiku. Ve statickém vesmíru by k jejich zapnutí nebyl žádný důvod. 22. 5. 2006

Život ve vesmíru I Vzhledem k nesmírné velikosti vesmíru je pravděpodobné, že existují planety s podmínkami vhodnými pro život, jak ho známe. Mohou ale být velmi daleko od sebe. Předpokládá se, že náš život by se měl v budoucnu rozšířit do vesmíru – antropický princip. 22. 5. 2006

Život ve vesmíru II Zamezí se tím zániku naší civilizace po předpokládané expanzi Slunce nebo silně pravděpodobné srážce s asteroidem. Plány podobných civilizací ale budou jistě podobné, takže pravděpodobně nastane známý problém boje o teritorium. HOWG!!! 22. 5. 2006

Relativistická dynamika I Ponecháme-li první dva členy rozvoje  obdržíme známý přibližný vztah pro kinetickou energii. Pro malé rychlosti u < 0.1c je rozdíl od správné hodnoty menší než 1% a vzorec běžně považujeme za správný. ^

Relativistická dynamika II Upravíme Einsteinovu rovnici pro celkovou energii : ^

Rutheford 1911-1913 I Částice  o Ek = 5.3 MeV směřuje k jádru Au a po interakci se vrací po stejné přímce. Pronikne do jádra? Částice se dostane do takové vzdálenosti d od jádra, kde je její coulombovská potenciální energie rovna výchozí Ek :

Rutheford II Vzdálenost 43 fm je z makroskopického pohledu nepatrná. Velmi krátká je vzhledem k velikosti atomu. Nicméně je o půl řádu větší, než je velikost atomového jádra Au : Částice  tedy do jádra nepronikne a vzhledem ke spádu potenciálu, lze říci, že tam zdaleka nepronikne. Aby nabité částice pronikly do jádra, musí být urychleny na obrovské energie v obrovských urychovačích nebo musí být použity částice bez náboje – neutrony. Ty ale nelze jednoduše urychlit. ^

Vazebná energie Fe ^ Jaká je vazebná energie vztažená na nukleon u ? Atom má 26 protonů, 26 elektronů a 30 neutronů. Jejich celková hmotnost je : Hmotnost je 55.9349 u. Po jejím odečtení dostáváme m = 0.5286 u = 492.5 MeV. Po vydělení počtem nukleonů, dostáváme vazebnou energii 8.8 MeV. Tato energie by se uvolnila, kdybychom atom Fe sestavili z jednotlivých nukleonů a elektronů a tuto energii bychom museli dodat, abychom existující jádro Fe na jednotlivé komponenty rozložili. ^

Vazebná energie neutronu Jaká je vazebná energie posledního neutronu atomu ? Porovnáme hmotnost atomu se součtem hmotností neutronu a atomu : m = 0.0531 u = 4.95 MeV. To je energie, kterou je potřeba dodat, abychom odstranili neutron z atomu. ^

Planckova kvantová hypotéza Střední energie, kterou vyzařuje dokonale černé těleso (dutina) o objemu V, v tělese o teplotě T v okolí (úhlové) frekvence  je : ^

Příklad - Fotoelektrický jev I Cesiová vrstva s výstupní prací Wo = 1.93 eV, je ozařována ze vzdálenosti r = 3.5 m světlem sodíkové výbojky, kde nejsilnější čára má vlnovou délku  = 590 nm, s výkonem P=100 W. Účinný průřez elektronu lze chápat jako kruhovou plošku o poloměru re = 5.10-11 m. Za jak dlouho by elektron načerpal dostatečnou energii, aby mohl být emitován při izotropním toku energie ? Za jakou střední dobu proletí jeden foton účinným průřezem elektronu? Účinný průřez elektronu je :

Příklad - Fotoelektrický jev II Energie emitovaného fotonu v J je: Energie emitovaného fotonu v eV je: Počet fotonů vyzářených výbojkou za jednotku času 1 s do všech směrů:

Příklad - Fotoelektrický jev III Intenzita, čili výkon procházející jednotkou plochy v místě vzorku je : Počet fotonů procházejících jednotkou plochy v místě vzorku za 1 s je :

Příklad - Fotoelektrický jev IV Po vynásobení předchozích hodnot účinným průřezem elektronu do staneme energii protékají tímto účinným průřezem za jednotku času : a počet fotonů protékajících tímto účinným průřezem za jednotku času. : Nyní již snadno zjistíme dobu potřebnou na naakumulování energie rovné výstupní práci :

Příklad - Fotoelektrický jev V Střední doba než foton prolétne účinným průřezem elektronu je : Na první pohled se jedná o srovnatelné časy. Skutečná čekací doba je ale řádově 10-9 s. To lze vysvětlit jedině tak, že elektron nesaje energii postupně, ale pohltí ji celou naráz při srážce s fotonem. Střední doba, za kterou se jakýkoli foton srazí s jakýmkoli elektronem se zkracuje s velikostí vzorku, s počtem elektronů a celovým účinným průřezem, který je součtem účinných průřezů jednotlivých elektronů. Dobu potřebnou pro postupné sání energie nijak zkrátit nelze! ^

Bohrův model atomu I Bohr připustil planetární model, ale jen v určitých stacionátních stavech, které lze charakterizovat kvantováním momentu hybnosti : Ze skutečnosti, že elektrická přitažlivá síla je rovna síle dostředivé plyne s použitím předchozího :

Bohrův model atomu II Po úpravě zjistíme, že poloměr jakékoli dráhy, jakéhokoli atomu lze vyjádřit pomocí Bohrova poloměru, což je nemenší poloměr u vodíku. Podobně lze vyjádřit každou energii pomocí energie elektronu vodíku na dráze nejbližší jádru.

Bohrův model atomu III ^ Po dosazení za mev2 do celkové energie : A konečně po dosazení za 1/rn : Přechody mezi těmito energetickými stavy skutečně odpovídají naměřeným spektrům. ^

Filosofie vlnové funkce I Rovinnou EMA vlnu, šířící se ve směru, vlnového vektoru , lze napsat jako : Úhlovou frekvenci  lze vyjádřit pomocí celkové energie. Pro m0 = 0 :

Filosofie vlnové funkce II Podobně velikost vlnového vektoru k lze vyjádřit pomocí velkosti vektoru hybnosti p. Totéž platí pro příslušné vektory, které jsou rovnoběžné :

Filosofie vlnové funkce III Rovinnou EMA vlnu lze tedy napsat jako : Analogicky definujeme vlnovou funkci :

Filosofie vlnové funkce IV Derivujme vlnovou funkci podle času : Po úpravě platí : Výraz má pro vlnovou funkci stejný význam jako energie. Protože jeho působením na vlnovou funkci dostáváme energii, nazývá se operátorem energie.

Filosofie vlnové funkce V Podobně lze pomocí derivace vlnové funkce podle souřadnic : nalézt operátor hybnosti : Pomocí něj lze určit hybnost, pokud je známa vlnová funkce i odvodit fundamentální rovnici kvantové mechaniky tzv. Schrödingerovu rovnici. ^

Schrödingerova rovnice Odvodíme stacionární Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ. Vyjdeme ze zákona zachování energie : Hybnost a potenciální energii nahradíme příslušnými operátory a budeme působit na vlnovou funkci : ^

Volná částice Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x a nepůsobí na ní žádná síla, čili Ep = 0 : S obdobnou diferenciální rovnicí 2. řádu jsme se setkali např. při studiu harmonického oscilátoru. Její obecné řešení je rovinná prostorová vlna: kde k je vlnový vektor : ^

Částice v potenciálové jámě I Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako : Schrödingerova rovnice i její obecné řešení jsou stejné jako v případě volné částice : Nyní ale musíme uvažovat také okrajové podmínky, vycházející z požadavku spojitosti vlnové funkce :

Částice v potenciálové jámě II První podmínka vede na zjednodušení vlnové funkce : a druhá, díky periodicitě funkce sinus, na kvantování vlnového vektoru, hybnosti a energie :

Částice v potenciálové jámě III Tedy máme-li volnou částici o přesně známé energii E nebo hybnosti p, může se vyskytovat kdekoli na ose x. To je v dokonalém souladu s principem neurčitosti. Omezení výskytu částice v prostoru vede na kvantování hybnosti, energie atd. i obecně. Z něj také vyplývá existence energetických hladin v atomech, která vedla k formulaci Bohrova modelu. ^