Funkce Lineární funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Lineární funkce Definice Každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka.

Úkol Sestrojte graf lineární funkce y = 3x – 2. x 1 2 y = 3x – 2 4 y 5 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 A[0; – 2] -2 Všímej si souřadnic průsečíku grafu s osou y. Označíme jej bodem A, platí A[0; -2], y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě b v rovnici funkce. -3 -4 -5

Příklady 1. Kterému číslu je rovna konstanta b v zadání lineární funkce y = 2x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; 5]? b = 5 y = 2x + 5 2. Určete, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 3x – 5 osu y. [0; – 5] 3. Zapište lineární funkci, jestliže víte, že platí: a = 5, b = 0. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y? y = 5x bodem [0; 0]

Závěr Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b]. Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].

Lineární funkce y y = 3x – 2 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 Funkce je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 < y2. y = 3x – 2 5 4 x 1 2 y = 3x – 2 4 3 2 1 Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 > y2. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 A[0; – 2] -2 -3 x – 1 – 2 y = – 3x – 2 1 4 -4 -5 y = – 3x – 2 Pozoruj číslo a v rovnici. Co vidíš?

Lineární funkce Lineární funkce y = ax + b je klesající, Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. Uveď příklady rostoucí funkce. Např.: y = x – 4; y = 0,3x + 0,1; y = 1,4x – 5; Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. Uveď příklady klesající funkce. Např.: y = – 2x – 5; y = – x + 1; y = – 0,4x – 5;

Lineární funkce Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. y Např.: y = – 4 5 4 x -1 2 y = – 4 4 3 y = 2 2 1 y = 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x -3 4 y = 2 2 -2 -3 y = – 4 -4

Příklady 1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. Df = R. a) y = 2x + 1 b) y = x2 – 5 c) y = 0,5 – 2x d) e) f) Řešení: a), c), e), f) a) [0; 3] a) [0; 15] a) [0; - 0,6] 2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y: a) y = – x + 3 b) y = 7x + 15 c) y = 0,5x - 0,6 a) klesající b) rostoucí c) klesající d) konstantní e) klesající 3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající: a) y = – 5x b) y = 2x – 4 c) y = – 0,3x + 0,5 d) y = – 8 e) y = 1 – x

Příklady Řešení: 4. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R. a) y = 2x + 1 b) y = 2x c) y = 2x – 3 d) y = 2x + 3 Řešení: Řešení: 5. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R. a) y = – x + 3 b) y = x + 3 c) y = 6x – 2 d) y = – 6x – 2 6. a) Zapište libovolnou rostoucí lineární funkci a sestrojte její graf. b) Zapište libovolnou klesající lineární funkci a sestrojte její graf.

Příklad č. 4 y y = 2x + 3 y = 2x + 1 y = 2x + 1 5 y = 2x 4 y = 2x - 3 y = 2x - 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x 2 y = 2 1 -2 -3 -4 y = 2x + 3 -5 Co pozorujete? Zapište závěr. x -1 y = 2 1

Příklad č. 5 y y = – x + 3 y = x + 3 y = – x + 3 5 4 y = x + 3 3 2 1 -2 y = 2 1 2 1 y = 6x – 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x 1 y = 2 4 -2 y = – 6x – 2 -3 -4 y = – 6x – 2 -5 Co pozorujete? Zapište závěr. x -1 y = 2 4 y = 6x – 2

Příklady z praxe 1. V balonu je 1,8 kg tekutého propanu. Plynovým hořákem se spotřebuje každou hodinu 0,2 kg propanu. Jaké množství m propanu bude v balonu za t hodin letu? Sestrojte graf a určete z něho: Kolik kg propanu bude v balonu za 3 h; 5 h; 6,5 h? Za jakou dobu se zmenší zásoba propanu o 0,6 kg; 1 kg; 1,5 kg? 2. Sestrojte grafy funkcí vyjadřujících závislost velikosti proudu I na napětí U podle Ohmova zákona pro odpory: R1 = 10 , R2 = 25 , R3 = 50 . 3. Na natření 10 metrů plotu se spotřebuje 4,5 kg barvy. Natěrač má zásobu 20 kg barvy. Napište rovnici popisující závislost množství zásoby barvy (y kg) na délce natřeného plotu (x m). Určete podmínku pro x.

Příklady z praxe 4. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost počtu vyrobených součástek n na čase t (v hodinách) na pravidelně pracujícím automatu, který vyrobí za 8 hodin vždy 120 součástek. 5. Silnice stejnoměrně klesá. Určete graficky výšku bodu, který je vzdálen od místa A 15 km, má-li bod vzdálený od místa A 5 km výšku 150 m a bod vzdálený od místa A 9 km výšku 120 metrů. 6. Cisterna na naftu se má naplnit na 55 m3. Čerpadlo dodá do cisterny 3,5 m3 nafty za minutu. Před začátkem činnosti čerpadla bylo již 6 m3 nafty. Určete graficky, za jak dlouho se cisterna naplní. 7. Auto a motorka vyjíždějí z místa B po stejné trase tak, že nejprve vyjede auto průměrnou rychlostí 50 km/h a za dvě hodiny za ním motorka průměrnou rychlostí 70 km/h. Určete graficky, kdy a v jaké vzdálenosti od výchozího místa motorka auto dohoní.

Příklady z praxe - řešení m = - 0,2t + 1,8; m3 = 1,2 kg; m5 = 0,8 kg; m6,5 = 0,5 kg; 3 h, 5 h, 7,5 h I = 0,1U; I = 0,04U; I = 0,02U y = - 0,45x + 20; 0 m ≤ x ≤ 400/9 m n = 15t 75 m y = 3,5x + 6 y1 = 50x + 100; y2 = 70x; 5 h; 350 km