Čísla Množiny a podmnožiny čísel Přirozená čísla Nula Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Komplexní čísla Iracionální čísla V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Přirozená čísla Čísla vyjadřující počet objektů. Nula se mezi ně obvykle nepočítá; pokud ano, je třeba to zdůraznit. Značí se písmenem N, pokud do nich zahrneme nulu, tak N0. Množinu N lze seřadit podle velikosti, má minimum, nikoliv však maximum. Na množině N jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči - a / množina není uzavřená (tj. rozdíl či podíl dvou přirozených čísel nemusí být přirozené číslo). Pro účely zkoumání dělitelnosti je výhodné zapisovat přirozená čísla (popř. i celá) ve tvaru kde k je dělitel, p zbytek.

Přirozená čísla Př.: pro která přirozená n je výraz dělitelný třemi? Víme-li, že přirozené číslo dělitelné třemi lze zapsat jako 3k, pak stačí, abychom položili do rovnosti a po úpravě zjistíme, že n musí být

Metoda matematické indukce Často je třeba ukázat platnost nějakého výroku pro všechna přirozená čísla. Vzhledem k nekonečnému počtu čísel z N je samozřejmě ne- možné dokazovat platnost výroku pro každé číslo zvlášť. Stačí ale, pokud a) dokážeme, že výrok platí pro n = 1 b) dokážeme platnost implikace výrok platí pro číslo n => výrok platí pro číslo n + 1 Pak víme, že výrok platí dle a) pro n = 1. Platí-li ale pro n = 1, pak dle b) platí i pro n = 1 + 1 = 2. Platí-li ale pro n = 2, pak opět dle b) platí pro n = 2 + 1 = 3 a tak dále až do nekonečna. Pomocí tohoto principu a všeobecného povědomí o tom, že do jakkoliv nacpaného autobusu MHD se vždycky vejde ještě jeden člověk navíc, lze ukázat, že každý autobus je černá díra.

Metoda matematické indukce Příklad Ukažte, že pro libovolné přirozené n platí a) Ukážeme tvrzení pro n = 1 b) Předpokládejme, že pro Sn je rovnost splněna. Je za tohoto předpokladu splněna i pro Sn+1?

Metoda matematické indukce Víme z předpokladu b) Dosadíme :

Matematická indukce Ukažte, že pro libovolné přirozené n platí Příklad Ukažte, že pro libovolné přirozené n platí Příklad Ukažte, že pro každé přirozené n > 2 platí Příklad Ukažte, že pro každé přirozené n > 4platí DÚ Indukcí dokažte malou Fermatovu větu : nechť n je libovolné přirozené číslo, p libovolné prvočíslo. Pak rozdíl np – n je dělitelný prvočíslem p.

Celá čísla Čísla vyjadřující počet objektů i nedostatek. Značí se písmenem Z Množinu Z lze seřadit podle velikosti, nemá minimum ani maximum. Na množině Z jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči / množina není uzavřená (tj. podíl dvou celých čísel nemusí být celé číslo). Definujeme, že celé číslo a je násobkem čísla b, pokud existuje takové celé číslo x, aby platilo a = b.x . O číslu b pak říkáme, že je dělitelem a. Z této definice je zřejmé, proč není definováno dělení nulou. Výraz a/0 by znamenal hledání takového x, aby a = x.0 což nelze pro nenulové a, zatímco výraz 0/0 by znamenal hledání tako- vého x, aby 0 = x.0 Takových x je ale nekonečný počet – této rovnici vyhovuje každé x.

Racionální čísla Čísla vyjadřující podíly. Značí se písmenem Q. Množinu Q lze seřadit podle velikosti, nemá minimum ani maximum. Na množině Q jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči všem těmto operacím je množina Q uzavřená. Takovýmto číselným množinám se říká číselné těleso. Každé racionální číslo je možné vyjádřit ve tvaru kde a a b jsou nesoudělná (tj. nemají společného dělitele). Celá čísla jsou speciálním případem (podmnožinou) racionálních. Například

Iracionální čísla Existují čísla, která nelze podílem vyjádřit (iracionální).To je například √2. Důkaz provedeme sporem. To znamená, že daný výrok znegujeme a negaci pak vyvrátíme (dostaneme se s ní do sporu). Tím dokážeme původní tvrzení. Zde předpokládáme, že √2 je iracionální. Negace tohoto výroku tvrdí, že kde a a b jsou nesoudělná čísla. Upravme tento výraz a umocněme jej: Jelikož a2 je zde zapsáno ve tvaru a2 = 2k, znamená to, že a2 je dělitelné dvěmi. Co z toho můžeme vyvodit pro a ?

Iracionální čísla a2 je dělitelné 2 tehdy a jen tehdy, je-li a dělitelné dvěmi, neboť je-li součin dvou čísel celý, pak i činitelé jsou celá čísla. Proto musí být a je tedy dělitelné dvěmi : a = 2l . Dosadíme-li ale toto do původního vzorce 2b2 = a2 , získáme a ze stejného principu vyplyne, že i b je dělitelné dvěmi. To je ale ve sporu s před- pokladem, že a a b jsou nesoudělná čísla. Negace je vyvrácena, původní výrok dokázán. Obdobně lze postupovat pro libovolné √m , kde m je prvočíslo.

Iracionální čísla Iracoinální čísla nejde zapsat zlomkem a jako desetinná mají nekonečný počet míst za desetinnou čárkou, jako například není možné taková čísla vypsat celá, pouze je zaokrouhlit na určitý počet dese- tinných míst, nebo definovat pomocí limit či nekonečných součtů, např.

Reálná čísla Množina iracionálních čísel se značí I. Na množině iracoinálních čísel jsou definovány standardní operace +, -, x, /. Množina není uzavřena vůči odčítání a dělění . Množina tedy není číselným tělesem. Sjednocením racionálních a iracionálních čísel jsou čísla reálná, znač. R. Množina reálných čísel je uzavřená vůči operacím +, -, x, / a je tedy čísel- ným tělesem. Důležité podmnožiny reálných čísel se značí Množina reálných čísel je kontinuum, tj. mezi libovolnými dvěmi reálnými čísly je nekonečně mnoho dalších. Tuto vlastnost mají i množiny Q a I. Kladná čísla Nezáporná čísla Záporná čísla

Komplexní čísla Při výpočtu rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se komplexní jednotka. Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně.

Komplexní čísla Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně. Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem. Rovnice má řešení Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

Shrnutí Přirozená čísla, značí se písmenem N (N0) Metoda matematické indukce Celá čísla (Z) Racionální čísla (Q) Iracionální čísla (I) Reálná čísla (R, R+, R-) Komplexní čísla, i = √-1, značí se C Přirozená čísla Nula Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Komplexní čísla Iracionální čísla