9. Minimalizace nákladů Osnova přednášky Řešení úlohy minimalizace nákladů; ekonomická efektivnost Podmíněné poptávky po výrobních faktorech a funkce dlouhodobých celkových nákladů Minimalizace nákladů (komparativní statika): vybrané otázky Odhady nákladových funkcí Náklady v krátkém období: vybrané problémy

Minimalizace nákladů účelová funkce LTC = w L + r K omezení Q0 = f (K,L) K > 0 L > 0

Určení podmínek 1. řádu L = w L + r K – λ [f(K,L) - Q] δLTC / δL = w - λ δ f(K,L) / δL = 0 δLTC / δK = r - λ δ f(K,L) / δK = 0 δLTC / δ λ = Q - f(K,L) = 0 λ = w / δf(K,L)/ δL λ = r / δf(K,L)/ δK w / r = [δf(K,L) / δL] / [δ f(K,L) / δK] w/r = MPL / MPK MRES = MRTS

Ekonomická interpretace λ λ = w / δf(K,L)/ δL λ = w δL / δf(K,L) LMC = w / [δ f(K,L) / δL] = r / [δf(K,L) / δK]

Podmíněné poptávky po výrobních faktorech Parametrickým řešením podmínek prvního řádu pro úlohu minimalizace nákladů získáme soustavu podmíněných poptávek po výrobních faktorech: L = f1 (Q0, w, r) K = f2 (Q0, w, r)

Odvození funkce LTC Dosazením funkce podmíněných poptávek po jednotlivých výrobních faktorech do účelové funkce, která zde vymezuje náklady firmy, odvodíme funkci dlouhodobých celkových nákladů LTC: LTC = f (Q, w, r)

δ LTC / δ w = LE δ LTC / δ r = KE Vlastnosti funkce LTC Funkce LTC je homogenní 1. stupně v cenách. Funkce LTC je rostoucí s objemem výstupu Funkce LTC je neklesající s růstem cen faktorů. Funkce LTC je konkávní v cenách vstupů. Platí Shephardova poučka: pomocí parciálních derivací funkce LTC (podle cen výrobních faktorů) dostaneme podmíněnou poptávku po příslušných faktorech. V případě produkční funkce se dvěma vstupy tudíž platí, že: δ LTC / δ w = LE δ LTC / δ r = KE

Vlastnosti funkce podmíněných poptávek po výrobních faktorech Funkce jsou homogenními nultého stupně v cenách Funkce jsou nerostoucí při změně jedné ceny vstupu

Elasticita LTC k výstupu I Koeficient elasticity LTC vůči výstupu

Elasticita LTC k výstupu II Interpretace hodnot koeficientu elasticity LTC k výstupu: eCQ = LMC /LAC eCQ > 1 klesající výnosy z rozsahu eCQ = 1 konstantní výnosy z rozsahu eCQ < 1 rostoucí výnosy z rozsahu

Elasticita LTC k ceně vstupu Koeficient elasticity LTC k ceně vstupu:

Elasticita LAC k ceně vstupu Koeficient elasticity LAC k ceně vstupu:

Vliv změny ceny vstupu na LMC závisí na vlastnostech produkční funkce I        δ LMC / δ w = δ2 LTC / δ Q δ w Podle pravidel o derivování platí, že δ2 LTC / δ Q δ w = δ2 LTC / δ w δ Q S použitím Shephardovy poučky:   δ LMC / δ w = δ LE / δ Q.

Vliv změny ceny vstupu na LMC závisí na vlastnostech produkční funkce II Normální výrobní faktor δLE/δQ > 0 Méněcenný výrobní faktor δLE/δQ < 0

Empirické odhady nákladových funkcí LTC (rozhodování o kapacitách) Prostorová analýza Metoda přežití Inženýrský přístup STC (rozhodování o cenách a objemu výstupu) Využití účetních dat

Obvyklé výsledky empirických pozorování Náklady v krátkém období SMC obvykle konstantní (často firmy udržují stálý poměr fixního a variabilního vstupu) Náklady v dlouhém období LAC mají často tvar písmene L (řada výrob vykazuje pro malé rozsahy výstupu rychle rostoucí výnosy, poměrně brzy ale konstantní výnosy z rozsahu)