Nerovnice v součinovém tvaru Název projektu: Moderní škola Nerovnice v součinovém tvaru Mgr. Martin Krajíc   21.3.2013 matematika 1. ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení metodou rozepsání Tato metoda se využívá většinou v případech, kdy máme součin dvou výrazů. Pro případy, ve kterých máme součin více výrazů, je tato metoda zdlouhavá a proto se nevyužívá.

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení metodou rozepsání Nejprve si tuto metodu rozebereme pro číselné výrazy: součin dvou čísel je větší (větší nebo rovno) než nula, jestliže jsou obě čísla větší (větší nebo rovna) než nula nebo obě menší (menší nebo rovna) než nula 3 . 9 ˃ 0 2 . 8 ≥ 0 (-3) . (-9) ˃ 0 (-2) . (-8) ≥ 0 3 . 0 ≥ 0

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení metodou rozepsání součin dvou čísel je menší (menší nebo rovno) než nula, jestliže je jedno z čísel větší (větší nebo rovno) než nula a druhé číslo je menší (menší nebo rovno) než nula nebo naopak. 3 . (-9) ˂ 0 2 . (-8) ≤ 0 (-3) . 9 ˂ 0 (-2) . 8 ≤ 0 (-2) . 0 ≤ 0

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení metodou rozepsání Stejně jako u čísel to platí i u proměnných. a . b ˃ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˃ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˂ 0 a . b ≥ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ≥ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ≤ 0 a . b ˂ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˂ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˃ 0 a . b ≤ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ≤ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ≥ 0 Poznámka: místo nebo budeme používat „v“, místo a zároveň použijeme „˄“

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení metodou rozepsání Součin dvou závorek je kladný, jestliže jsou obě kladné nebo obě záporné. Př: Řešte nerovnici v R: (x – 2) . (3x + 9) ˃ 0 x – 2 ˃ 0 ˄ 3x + 9 ˃ 0 v x – 2 ˂ 0 ˄ 3x + 9 ˂ 0 x ˃ 2 ˄ x ˃ -3 x ˂ 2 ˄ x ˂ -3 x ɛ (2, ∞) x ɛ (-∞, -3) x ɛ (-∞, -3) U (2, ∞) Rozdělíme na dvě soustavy dvou nerovnic. Každou soustavu řešíme zvlášť. Výsledek je sjednocením dílčích výsledků

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení pomocí tabulky Tato metoda se využívá většinou v případech, kdy máme součin více výrazů. Nalezneme nulové body: jednotlivé výrazy položíme rovny nule. Vyznačíme nulové body na číselnou osu a rozdělíme si ji na dílčí intervaly. Vytvoříme tabulku, ve které v prvním řádku jsou intervaly a čísla na rozhraní intervalů a v prvním sloupci jednotlivé výrazy. Doplníme tabulku: vezmeme libovolné číslo z prvního intervalu a dosadíme ho za x do jednotlivých výrazů. Do tabulky píšeme, zda nám vyšlo kladné nebo záporné číslo. Takto postupujeme u všech intervalů. Na závěr provedeme součin jednotlivých sloupců. Podle zadání zapíšeme výsledné intervaly. Pokud je v zadání, že má být součin výrazů kladný, bereme kladné výsledky a naopak.

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení pomocí tabulky Př: Řešte nerovnici v R: (x – 2) . (3x + 9) . (x – 8) ≤ 0 nulové body: x – 2 = 0 3x + 9 = 0 x – 8 = 0 x = 2 x = -3 x = 8 číselná osa: (-∞, -3) (-3, 2) (2, 8) (8, ∞) -3 2 8

Nerovnice v součinovém tvaru – řešení pomocí tabulky tabulka: výsledek: v zadání máme dáno, že součin má být menší nebo roven nule. Proto výsledkem je sjednocení intervalů, které jsou záporné nebo rovny nule. x ɛ (-∞, -3˃ U ˂2, 8˃ (-∞, -3) -3 (-3, 2) 2 (2, 8) 8 (8, ∞) (x – 2) - + (3x + 9) (x – 8) součin

Nerovnice v součinovém tvaru – příklady Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): 1) (x – 6) . (x + 5) ˂ 0 a) Z = (-∞, -5) U (6, ∞) b) P = (-5, 6) 2) (2x – 8) . (3x + 15) ≥ 0 a) L = (-∞, -5˃ U ˂4, ∞) b) A = ˂-5, 4˃ 3) (x + 1) . x . (2x - 5) ˂ 0 a) A = (-∞, -1) U (0, ) b) M = (-1, 0) U ( , ∞) 4) (x + 1) . (x – 7) . (2x + 14) . (4x + 20) ≤ 0 a) B = (-∞, -7˃ U ˂7, ∞) b) T = ˂ -7, -5˃ U ˂-1, 7 ˃ „Ženy mají zvláštní vášeň pro matematiku: dělí své stáří dvěma, zdvojnásobují cenu svých šatů, ztrojnásobují …... svých mužů a přičítají pět let k věku svých přítelkyň.“ (Marcel Achard)

Nerovnice v součinovém tvaru – příklady Správné řešení: „Ženy mají zvláštní vášeň pro matematiku:dělí své stáří dvěma, zdvojnásobují cenu svých šatů, ztrojnásobují …........................ svých mužů a přičítají pět let k věku svých přítelkyň.“ PLAT

Nerovnice v součinovém tvaru Použité zdroje: OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-03-21]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/marcel-achard