Matematický aparát fyziky Matematika – královna i služka věd Čím se tato věda zabývá? Čím se budeme zabývat my? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Výroková logika Matematický objekt Matematická logika Idealizace, abstrakce Odhlížíme od reálných vlastností objektů Blízko k Platónovu světu ideí Matematická logika Body, přímky, tělesa Nutno přesně stanovit, co tím kterým objektem myslíme Vysoký stupeň abstrakce Správné formy myšlení a vyjadřování Definice, věta, důkaz Výrok

Vybrané partie ze středoškolské fyziky Obsah přednášky Vybrané partie ze středoškolské fyziky Výroková logika Čísla (N, Z, Q, R, C), teorie čísel, číselné těleso Množiny a zobrazení Posloupnosti a funkce – obecný úvod Posloupnosti a řady Funkce Nejpoužívanější druhy funkcí a řešení příslušných rovnic Komplexní čísla

Vybrané partie z lineární algebry Obsah přednášky Vybrané partie z lineární algebry Vektorový prostor, příklady nejpoužívanějších prostorů Soubor vektorů, LZ, LN, báze Dimenze VP, souřadnice, závislost na bázi Lineární zobrazení na VP (funkcionály, operátory, projektory) Norma, skalární a vektorový součin Operace s maticemi Řešení soustav lineárních rovnic Souvislost matic a operátorů na VP Vlastní čísla matic a operátorů na VP

Vybrané partie z matematické analýzy Obsah přednášky Vybrané partie z matematické analýzy Limita posloupnosti Součty nekonečných řad Spojitost a limita funkce Věty o limitách, výpočty limit Diferenciální počet reálné funkce jedné proměnné Integrální počet reálné funkce jedné proměnné Diferenciální počet reálné funkce více proměnných Diferenciální počet vektorových funkcí Integrální počet reálné funkce více proměnných Rozvoj funkcí do nekonečných řad Diferenciální rovnice Pravděpodobnost a statistika

Doporučená literatura Josef Polák : Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, 2005 Hans Jochen Bartsch : Matematické vzorce, SNTL, 1983 Jaroslav Smítal, Tibor Šalát : Posloupnosti a řady, SPN, 1986 Eva Dontová : Matematika I, Vydavatelství ČVUT, 1996 Jozef Kvasnica : Matematický aparát fyziky, Academia, 1997 Jiří Pytlíček : Lineární algebra a geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1997 Jiří Pytlíček : Cvičení z algebry a geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1997 Jan Mareš, Jana Vondráčková : Cvičení z matematické analýzy, Vydavatelství ČVUT, 1997

Pro ověření pravdivosti či nepravdivosti je nutné za x něco dosadit. Výroková logika Výrok Každá gramatická věta, u které lze rozhodnout o pravdivosti, tj. lze na ni odpovědět buď ANO, nebo NE. Forma tvrzení. V matematické logice slovy nastane (právě) jedna z možností rozumíme, že nastane pouze jediná z možností a žádná další. Výrok můžeme vyjádřit buď slovy, nebo dohodnutými symboly. Výroky se stručně označují malými latinskými písmeny (p,q). B. Smetana je autorem hudby k opeře „Prodaná nevěsta“. Výroková funkce Pro ověření pravdivosti či nepravdivosti je nutné za x něco dosadit. V Plzni je jediný pivovar v Čechách. Kolik je hodin? | x – 1 | < 0 74% vybraných akcií. Mohu vám podržet kabát, madam? | x – 1 | > 2 Pro všechna x > 3 platí, že | x – 1 | > 2

Kvantifikátory Obecný kvantifikátor ……. pro všechny prvky platí (obrácené A z anglického All) Pro všechna x > 3 platí, že | x – 1 | > 2 Třetí mocnina libovolného kladného čísla je kladná.

Kvantifikátory Existenční kvantifikátor ……. Existuje prvek, pro který platí (obrácené E z anglického Exists) Existuje nejméně jedno reálné číslo, které je větší než 2. Lze najít alespoň jeden kořen rovnice x2 – 2x + 1 = 0.

Kvantifikátory Existenční a obecné kvantifikátory lze libovolně kombinovat. Množina přirozených čísel má minimální prvek. Existuje takové přirozené číslo y, které je menší nebo rovno než další libovolně zvolené přirozené číslo x. POZOR ! Prohodíte-li pořadí kvantifikátorů, výrok se změní! Tento výrok by znamenal, že každé z čísel x má svoje vlastní y – a ypsilony mohou být různé. Zatímco první výrok říká, že takové y je pro všechny x společné. Druhý výrok tedy vůbec nehovoří o minimu celé množiny.

Kvantifikátory x x2 První z výroků je nepravdivý, neboť nelze najít takové y, které by posunulo celou, donekonečna rostoucí parabolu pod osu. Druhý z výroků je pravdivý, neboť zvolíme-li x pevně, pak snadno najdeme y, které by parabolu posunulo pod osu až k zvolenému x. Takové y bude například y = - x2 – 1 .

Negace výroku Negace výroku je obrácení jeho smyslu. Kvantifikátory jsou v jistém smyslu navzájem negací, neboť opak k Pro každý prvek platí …. je Pro alespoň jeden prvek neplatí … neboli Existuje prvek, pro který neplatí … POZOR! Věta „Pro všechny prvky neplatí“ NENÍ negací první věty! Například negace Pro všechna x > 3 platí, že | x – 1 | > 2 je Existuje x > 3 tak, že | x – 1 | ≤ 2

Negace výroku Negujeme-li delší výrok s kvantifikátory, postupujeme tak, že postupně zleva doprava změníme kvantifikátory z na a obráceně a změníme smysl poslední závorky. Například negace výroku je negace výroku je

Logické spojky Výroky je možné spojovat do větších celků. K tomu slouží následující logické spojky Negace Disjunkce – logické „nebo“ Konjunkce – logické „a“ Implikace Ekvivalence

Logické spojky Disjunkce – logické „nebo“ Výrok p v q platí, pokud platí alespoň jeden z výroků p, q. Nemá vylučovací charakter, p v q je platný i když platí jak p, tak q. Konjunkce – logické „a“ Výrok p ^ q platí, pokud platí p i q zároveň. Implikace Výrok p => q „z p plyne q“. Aby byla celá složenina platná, pak buď musí být oba výroky platné (z platného p plyne platné q), nebo musí být p neplatné. Z nepravdivého výroku si může plynout co chce – na q pak nezáleží. Ekvivalence Výrok p <=> q „p je to samé, co q“. Aby byla celá složenina platná, pak buď musí být oba výroky platné, nebo oba neplatné.

Logické spojky Disjunkce – logické „nebo“ Výrok p v q platí, pokud platí alespoň jeden z výroků p, q. Nemá vylučovací charakter, p v q je platný i když platí jak p, tak q. Číslo x = -3 je kladné nebo záporné. Číslo x = 0 je kladné nebo záporné. Číslo x je sudé V číslo x je liché. Konjunkce – logické „a“ Výrok p ^ q platí, pokud platí p i q zároveň. Číslo x = -3 je kladné a záporné. Číslo x je sudé ^ číslo x je liché. Číslo x = 4k, kde k přirozené, je dělitelné 2 a 4.

Logické spojky Implikace Výrok p => q „z p plyne q“. Aby byla celá složenina platná, pak buď musí být oba výroky platné (z platného p plyne platné q), nebo musí být p neplatné. Z nepravdivého výroku si může plynout co chce – na q pak nezáleží. Je-li x ≥ 2, pak x2 ≥ 4. Je-li x ≥ 2, pak x2 < -1. Jestli tohle je umytá tabule, tak já jsem čínská váza! Implikace se občas označuje jako nutná podmínka – na to, aby bylo vůbec možné uvažovat o platnosti výroku q, je nutné, aby nejprve platil výrok p. Pokud neplatí p, nemá smysl se o q vůbec bavit.

Logické spojky Ekvivalence Výrok p <=> q „p je to samé, co q“. Aby byla celá složenina platná, pak buď musí být oba výroky platné, nebo oba neplatné. Číslo x je liché tehdy a jen tehdy, je-li možné jej zapsat ve tvaru x = 2k + 1. Součin je roven nule právě tehdy, je-li alespoň jeden z činitelů nulový. Tři je rovno dvěma právě tehdy, když čtyři je rovno pěti. Tři je rovno dvěma právě tehdy, když čtyři je kladné.

Logické spojky Ekvivalenci je možné zapsat jako Ekvivalence Výrok p <=> q „p je to samé, co q“. Aby byla celá složenina platná, pak buď musí být oba výroky platné, nebo oba neplatné. Ekvivalenci je možné zapsat jako Ekvivalence se občas označuje jako nutná a postačující podmínka – na to, aby výrok q platil stačí splnit výrok (podmínku) p. Splníme-li p, je platnost q zaručena automaticky.

Negace logických spojek Složené výroky se negují podle následujícího systému: Nepříliš používané Obměna:

Negace logických spojek Přehled platnosti výroků s logickými spojkami

Shrnutí Výrok – tvrzení, u nějž je možno rozhodnout o pravdivosti Obecný kvantifikátor Existenční kvantifikátor Pořadí kvantifikátorů ve výrocích je důležité Používané logické spojky jsou Negace Disjunkce – logické „nebo“ Konjunkce – logické „a“ Implikace Ekvivalence