II. Analýza poptávky Přehled témat 3. Optimum jedince maximalizujícího užitek 4. Optimum jedince minimalizujícího výdaje 5. Vybrané otázky z problematiky komparativní statiky 6. Blahobyt jedince 7. Alternativní teorie spotřebitele

3. Optimum jedince maximalizujícího užitek Osnova přednášky Preference jedince a funkce užitku Množina spotřebních možností Optimum jedince - existence, výpočet Marshallovy poptávky a jejich vlastnosti Nepřímá funkce užitku a její vlastnosti

Preference - vymezení Preference = ohodnocení (ocenění) komodity bez ohledu na ceny zboží a na velikost příjmu jedince

Axiomy zajišťující uspořádání preferencí úplnost srovnání reflexivita tranzitivita Axiomy nezajistí existenci spojité funkce užitku (resp. spojitých indiferenčních křivek): viz lexikografické preference

Pravidla přiřazení užitku Pokud existují dva různé spotřební koše, které jsou z hlediska jedince stejně významné, přiřaď jim stejné reálné číslo Pokud existují dva různé spotřební koše A, B a koš A je z hlediska jedince významnější, přiřaď koši A vyšší reálné číslo

Odvození funkce užitku z preferencí jedince - příklad

Funkce užitku a indiferenční křivka Funkce užitku vyjadřuje závislost mezi užitkem a množstvím spotřebovávaných statků. U = f (X,Y) Indiferenční křivka udává kombinace statků, které přinášejí jedinci konstantní celkový užitek U4 = f (X,Y) (U4 = konstantní užitek ve výši U = 4)

Pozitivní monotónní transformace funkce užitku Pro preference jednoho jedince lze sestavit libovolný počet funkcí užitku Díky pravidlům lze převádět případě jednoho subjektu jednu funkci užitku v jinou funkci, bez ohledu na nulovou hodnotu a velikost jednotky ve stupnicích

Lexikografické preference α zobrazuje plochu méně významného koše β zobrazuje plochu více významného koše Neexistují koše, které jsou indiferentní ke koši A, tudíž se indiferenční množina skládá z jediného bodu. Y α β Yo A Xo X

Axiom zajišťující existenci funkce užitku Axiom spojitosti změna ve spotřebě jedné komodity musí být kompenzována změnou ve spotřebě jiného zboží, aby jedinec dosahoval stále stejného celkového užitku

Předpoklady zajišťující ryze konvexní tvar indiferenčních křivek Nenasycení Konvexnost (předpoklad vyvážené spotřeby)

Nenasycení Y A=[X1,Y1] B=[X2,Y2] A > B → (X1≥X2)٨(Y1>Y2) Indiferenční křivka ma zápornou směrnici. Tloušťka indiferenční křivky nemůže být více než jeden bod. Yo A Xo X

Předpoklad konvexnosti (vyvážené spotřeby)

Vlastnosti indiferenčních křivek Axiomy umožňují existenci funkce užitku (a tudíž i indiferenčních křivek) - úplnost srovnání, reflexivita, tranzitivita, spojitost Axiomy zajišťují ryze konvexní indiferenční křivky - nenasycení, konvexnost (předpoklad vyvážené spotřeby)

Množina spotřebních možností vymezení Vymezení nerovnicemi: I   PiXi Xi  0 pro i = 1,…,n

Vlastnosti množiny spotřebních možností Vlastnosti umožňující existenci řešení - neprázdná (obsahuje „0“), omezená, uzavřená Vlastnosti zajišťující existenci absolutního (absolutních) extrému - konvexnost množiny

Formulace úlohy maximalizace užitku jedincem Cílová funkce Max U = f (Xi) při množině přípustných řešení (zde množině spotřebních možností): I   Pi Xi Xi  0

Grafické zobrazení úlohy

Existence jediného řešení Existuje jediný absolutní extrém Indiferenční křivky jsou - díky axiómům - ryze konvexní Množina spotřebních možností je konvexní

Řešení úlohy maximalizace užitku I Podmínky 1. řádu odvozené z Lagrangeovy funkce (při rozpočtovém omezení ve tvaru rovnice):  L/ X1 =  U/  X1 -  P1  L/ Xn =  U/  Xn -  Pn  L/  = - P1X1 - … - PnXn + I pro i = 1, …, n

Řešení úlohy maximalizace užitku II Položíme podmínky 1. řádu rovny nule a úpravou (vyloučením ) získáme MU1 MU2 Mun -------- = ------- = … = -------- P1 P2 Pn PXX1 - … - PYXn = I Přičemž platí, že:  = Mui / Pi

Mezní míry substituce Z podmínek optima lze doložit, že: MU1 P1 -------- = ------- MU2 P2 tj. MRSC = MRSE

MRSc není ovlivněna monotónní transformací funkce užitku Nechť máme dvě funkce užitku U a V, pro které platí: U = T V, kde T je transformační pravidlo. Potom platí: U1´ (T V1)´ T´ V1´ V1´ ----- = -------- = -------- = -------- U2´ (T V2)´ T´ V2´ V2´

Marshallovy funkce poptávky vymezení Parametrickým řešením soustavy rovnic získaných z úlohy maximalizace užitku jedincem získáme soustavu n rovnic - Marshallových funkcí poptávek: Xi = fi (I, Pi)

Nepřímá funkce užitku Dosazením soustavy Marshallových funkcí poptávek do cílové funkce získáme nepřímou funkci užitku: Vi = fi (I, Pi) kde V je užitek

Vlastnosti Marshallových poptávek I Pokud zkoumáme změny jednotlivých proměnných obsažených ve funkci, nemůžeme o vlastnostech funkce nic říci: Změna příjmu (méněcenné, normální statky) -  <eI < +  Změna vlastní ceny komodity (standardní a Giffenovy statky) -  <eP < +  Změna cen jiných komodit (substituty, komplementy) -  <eC < + 

Vlastnosti Marshallových funkcí poptávky II O funkci lze pouze říci: homogenní stupně nula v cenách a v příjmu celková hodnota Marshallových poptávek se rovná celkovým výdajům spotřebitele  Pi Xi* = I substituční efekt (při normálních preferencích je negativní

Vlastnosti nepřímé funkce užitku homogenní stupně nula v cenách a v příjmu nerostoucí s růstem jednotlivých cen rostoucí se zvyšujícím se příjmem

Marshallova poptávka a nepřímá funkce užitku jsou homogenní stupně nula - grafická ilustrace

Negativní substituční efekt grafická ilustrace