Teorie her Téma 5 Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz , www.median-os.cz, 2010 Téma 5 Teorie her

Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her 5.3 Základní pojmy teorie her a typologie her 5.4 Hry s konstantním součtem – smíšené strategie 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra 5.6 Modelové hry – příklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem

5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie Teorie her je jednou z nejvíce se rozvíjejících vědních disciplín v posledních desetiletích. Je tomu tak proto, že tato teorie dokáže popsat mnoho reálných rozhodovacích (konfliktních) situací a poskytnout návody na jejich řešení. Praktické využití z teorie her lze aplikovat na celou řadu situací a to zejména v sociálních vědách a ekonomii, v politologii a mezinárodních vztazích. Aplikovatelnost bychom nalezli i v biologii.

Rovnováha firmy kdy průměrné příjmy jsou nižší než průměrné náklady, ale vyšší než průměrné variabilní náklady Firma se musí připravit na to, aby, pokud se situace nezmění, v dlouhém období z daného odvětví odešla.

5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her Teorie her se obecně zabývá situacemi, kdy jednání nějakého subjektu závisí na jednání ostatních subjektů, přičemž zároveň platí, že jednající subjekt svým jednáním působí na jednání jiných subjektů.

5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her Teorie her se zabývá konfliktními rozhodovacími situacemi s více účastníky. Pracuje nejméně se dvěma účastníky, přičemž není nutné, aby 2. účastník byl člověk. Může jím být například losovací stroj nebo příroda sama.

5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her Jsou-li zájmy hráčů v přímém protikladu, hovoříme o antagonistickém konfliktu. Pokud hráč hájí své zájmy, nemusí být nutně v rozporu se zájmy ostatních hráčů, pak mluvíme o neantagonistickém konfliktu. Ty dělíme na kooperativní a nekooperativní.

5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her EKONOMICKÁ REALITA Hra rozhodovací situace, konflikt Hráč účastník konfliktu, rozhodovatel, firma, jedinec, politická strana Strategie konkrétní alternativa, kterou může hráč zvolit Optimální strategie hráčem zvolená alternativa, která je pro něj nejvýhodnější Prostor strategií seznam všech možných alternativ, které jsou hráči dostupné Výplatní funkce výsledek hry, výhra (zisk), případně prohra (ztráta) hráče v závislosti na zvolených strategiích Inteligentní hráč racionální účastník konfliktu (maximalizuje svůj užitek)

Existují dva nejdůležitější matematické modely teorie her: 5.2 Typologie her Existují dva nejdůležitější matematické modely teorie her: Hra v normálním tvaru – také označována jako strategická hra. V takovéto hře se všichni hráči rozhodují najednou (současně). Hra v rozvinutém (explicitním) tvaru - v této hře se hráči rozhodují postupně – nejprve se rozhodne a jedná (udělá tah) nějaký hráč, potom se rozhodne a jedná (udělá tah) další hráč, atd.

Počet hráčů Racionalita Spolupráce Informace Strategie Výhra 5.2 Faktory pro dělení her Počet hráčů Racionalita Spolupráce Informace Strategie Výhra Počet tahů

5.2 Racionalita Teorie her předpokládá, že každý z hráčů maximalizuje svůj užitek, oba hráči rovnocenní, mají stejné schopnosti a informace. Hráče dále dělíme na inteligentní, chovají se dle zásad racionality „neinteligentní“, jsou reprezentováni náhodným rozhodovacím mechanismem (automat, příroda).

5.2 Spolupráce U kooperativních her předpokládáme spolupráci (tj. hráči se mohou domlouvat a spolupracovat, a mohou si mezi sebou rozdělit výplaty, tj. mohou se dohodnout, že to, co jednotliví hráči ve hře mohou získat, si mezi sebe nějak rozdělí.) Ke spolupráci a dohodě dojde jen pokud je to pro jednotlivé hráče výhodné, tj. pokud spoluprací získají více než když nebudou spolupracovat.

5.2 Výhra Teorie her rozlišuje hry s konstantním nekonstantním součtem. Hry s konstantním (nulovým) součtem předpokládají, že vítěz bere vše, pak tedy platí, že hráč, který prohrál, nemá nic. Hry s nekonstantním součtem naopak předpokládají, že vyhrát může více hráčů.

5.3 Hry s konstantním součtem v normálním tvaru množina hráčů {1, 2, 3,…, N}. množina prostorů strategií {X1 , X2 , X3, …, XN}. Kde Xi (i nabývá hodnot od 1 do N) zobrazuje prostor strategií i-tého hráče. množina výplatních funkcí {f1(x1, x2, x3, …, xN)}, …, {fN(x1, x2, x3, …, xN)} – ty jsou definovány na kartézském součinu prostoru strategií, u hry dvou hráčů postačí označení f1(x, y) pro výplatní funkci prvního hráče, a f2(x, y) pro výplatní funkci druhého hráče.

5.3 Co je to kartézský součin? Jde o součin dvou množin, např. A * B. Kartézský součin obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny, která v součinu stojí na 1. místě, a druhá položka je prvkem množiny, která v součinu stojí na druhém místě.

5.3 Kartézský součin. Není komutativní!!

f1(x,y) + f2(x,y) = 0 (konst.) inteligentní (racionální) hráči; 5.3 Předpoklady inteligentní (racionální) hráči; dokonalá informovanost všech hráčů; antagonistický konflikt; hra s konstantním součtem f1(x,y) + f2(x,y) = 0 (konst.)

5.3 Nashovo rovnovážné řešení. Hráč, který se ve hře s konstantním součtem, (nulovým součtem) odchýlí od optimálních strategií, si nemůže polepšit. To je princip, na kterém je založena Nashova rovnováha, nebo též Nashovo rovnovážné řešení, nebo také rovnovážná strategie.

Model je proto nazýván maticová hra. 5.3 Znázorněníá hry. a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 a2n A = a31 a32 a33 a3n am1 am2 am3 amn V této matici hry s konstantním součtem řádky reprezentují i-té strategie hráče 1 a sloupce j‑té strategie hráče 2. Model je proto nazýván maticová hra.

Řešením je nalezení sedlového prvku matice A. Sedlový prvek znamená nejlepší řešení pro oba hráče. Sedlový prvek (Nashovo rovnovážné řešení) najdeme tak, že určíme maxima ve sloupcích a minima v řádcích.

5.3 Řešení. Pokud 2. hráč zvolí svoji j-tou strategii, jaká je pro mne nejlepší odpověď? 1. hráč se snaží na každou j-tou strategii 2. hráče najít takovou svoji i-tou strategii, při které je hodnota aij největší. 1. hráč tedy hledá maximum v příslušném sloupci – sloupec reprezentuje j-tou strategii druhého hráče. Každý řádek daného sloupce potom značí příslušnou odpověď 1. hráče. Ten maximalizuje svoji výhru, proto v daném sloupci hledá maximum.

matice má jeden sedlový prvek, matice má více sedlových prvků, 5.3 Řešení. Obecně mohou nastat tyto případy: matice má jeden sedlový prvek, matice má více sedlových prvků, matice nemá žádný sedlový prvek

5.3 Řešení – sedlový prvek. 1 3 -2 5 -3 2 4 1 -1 1 3 -1 2 -2 3 -2 -3 2  1 3 -2 5 -3 2 4 1 -1 1 3 -1 2 -2 3 -2 -3 2 5 1 záleží na pořadí

5.4 Hry s nekonstantním součtem – smíšené strategie. Pokud se ve hrách s konstantním součtem nepodaří najít sedlový prvek, používá se k řešení smíšených „pravděpodobnostních“ strategií. Prostory strategií představují vektory – ty říkají, s jakou pravděpodobností budou jednotliví hráči volit své strategie. Opět platí, že ten, kdo se odchýlí od rovnovážné strategie, nemůže získat a naopak ztrácí.

5.4 Kámen nůžky papír   K N P 1 -1 Pokud by nějaký hráč hrál s větší než třetinovou pravděpodobností určitou strategii (např. první hráč by převážně hrál strategii „nůžky“), tak zbývající hráč má jednoznačnou strategii, jak maximalizovat svoji výhru

5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra . Každý hráč má svou výplatní matici. Strategie (řádek) 1 3 4 Strategie (řádek) 2 -2 2 Matice A hráč 1 Strategie (sloupec) 1 Strategie (sloupec) 2 5 2 7 1 Matice B hráč 2

5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B Hráč 2 Strategie 1 Strategie 2 Hráč 1 3 5 4 2 -2 7 2 1

5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra Dominantní (rovnovážná) strategie je situace, kdy hráč má pro sebe jako nejvýhodnější jednu strategii, ať zbývající hráč uplatní kteroukoliv svoji strategii.

5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B Hráč 2 Strategie 1 Strategie 2 Hráč 1 3 9 -2 1 -2 6 4

5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B Hráč 2 Strategie 1 Strategie 2 Hráč 1 3 5 2 -1 4 1 -2 5

The Prisoner’s Dilemma (Vězňovo dilema) 5.6 Modelové hry – příklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem The Prisoner’s Dilemma (Vězňovo dilema) The Tragedy of Commons (Tragédie společenského vlastnictví) The Free Rider (Černý pasažér) Chicken (Zbabělec) The Volunteer’s Dilemma (Dilema dobrovolníka) The Battle of the Sexes (Manželský spor) Stag Hunt (Lov jelena)

5.6 Modelové hry – předpoklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem základ pro vytvoření dvou-matice v podobě přesného popisu celé situace; musíme přesně definovat hráče, proč jsou takoví, jací jsou, proč se chovají, jak se chovají; stanovení dostupných strategií a zdůvodnění, daného prostoru strategií. klíčovým prvkem je stanovení výplat vázaných na zvolenou strategii, a to pro každého hráče zvlášť.

Vězňovo dilema Jedná o situaci dvou vězňů, kteří spáchali nějaký trestný čin a byli dopadeni. Při výslechu jsou oba odděleni a mají na výběr dvě možnosti, buď se přiznat, nebo se nepřiznat. Pro řešení výběru jejich rozhodovací strategie použijeme dvou-matici.

Vězňovo dilema Vězeň 2 Přiznat Nepřiznat Vězeň 1 -3 -1 -4 -4 -1 -2 NK > KK > NN > KN K – kooperovat (přiznat se) N - nekooperovat (nepřiznat se) Vězeň 2 Přiznat Nepřiznat Vězeň 1 -3 -1 -4 -4 -1 -2

Vězňovo dilema Mohou nastat situace, kdy se všechny osoby chovají určitým jednotným způsobem (mají jednoznačnou dominantní strategii) s cílem maximalizovat svůj užitek, však všichni jednající si pohorší. Pokud by jednotliví hráči zvolili jinou než pro ně dominantní strategii, tak by na tom byli lépe, než když všichni hráči tuto nejvýhodnější strategii zvolí.

NK > KK > NN > KN, Vězňovo dilema NK > KK > NN > KN, kde: 1. symbol znamená strategii nějakého hráče (jedno zda-li prvního nebo druhého), 2. symbol znamená strategii zbývajícího hráče; N znamená, že daný hráč nespolupracuje, čili používá nekooperativní strategii (přizná se); K znamená, že spolupracuje, tj. použije kooperativní strategii (nepřizná se).

Vězňovo dilema Nashova rovnováha v ryzích strategiích v této hře tedy existuje, ale je pro oba horší, než kdyby se nepřiznali (tj. spolupracovali).

Vězňovo dilema Se situací typu vězňova dilematu se lze setkat velmi často, např.: Dvě firmy uzavřely kartelovou dohodu a mohou ji porušit, nebo dodržet. Dvě politické strany uzavřely dohodu o tom, že jejich výdaje na volební kampaň nepřekročí určitou částku a mohou ji porušit, nebo dodržet. Dvě velmoci uzavřely dohodu o snížení počtu zbraní a mohou ji porušit, nebo dodržet.

Tragédie společenského vlastnictví Farmáři v Austrálii mají omezené používání vody, protože jsou zde častá sucha. V matici je jeden zemědělec a všichni ostatní. Pokud budou všichni spolupracovat (tj. omezí používání vody), bude užitek obou skupin 5 tun z akru půdy. V případě, že oba (jednotlivý zemědělec i zbývající zemědělci) zradí (neomezí používání vody) pak jen 2 tuny. Pokud zradí pouze samostatný farmář, získá 10 a ostatní 5 tun. V opačném případě získá farmář 1 tunu a ostatní 2 tuny.

Tragédie společenského vlastnictví NK > KK > NN > KN Ostatní farmáři Nespolupracovat Spolupracovat Jednotlivec 2 10 5 1 2 5

Černý pasažér Farmáři v Austrálii mají omezené používání vody, protože jsou zde častá sucha. V matici je jeden zemědělec a všichni ostatní. Pokud budou všichni spolupracovat (tj. omezí používání vody), bude užitek obou skupin 5 tun z akru půdy. V případě, že oba (jednotlivý zemědělec i zbývající zemědělci) zradí (neomezí používání vody) pak jen 2 tuny. Pokud zradí pouze samostatný farmář, získá 10 a ostatní 5 tun. V opačném případě získá farmář 1 tunu a ostatní 2 tuny.

Černý pasažér 1000 -1000 2000 Ostatní občané Konkrétní občan Více než 1000 občanů spolupracuje Přesně 999 občanů spolupracuje Méně než 999 občanů spolupracuje Konkrétní občan Spolupracovat 1000 -1000 Nespolupracovat 2000

Kuře, ale spíše zbabělec Dva hráči volí strategii ustoupit od devastujícího rozhodnutí (kooperativní strategie), nebo neustoupit (nekooperativní strategie). Ten, kdo ustoupí, prohrává. Pokud ustoupí oba, nedojde k devastaci, žádný z hráčů však nic nezíská. Například rozhodnutí dvou hochů zamilovaných do stejné dívky, řešící (s jejím vědomím) svůj životní problém tím, že se proti sobě rozjedou autem vysokou rychlostí. Kdo uhne, dívku ztrácí. V případě, že neuhne žádný z nich, ztrácí ovšem oba svůj život.

Kuře, ale spíše zbabělec NK > KK > KN > NN K – kooperovat (ustoupit) N - nekooperovat (neustoupit) Hráč 2 Ustoupit Neustoupit Hráč 1 -5 5 5 -5 -10

Dilema dobrovolníka Je to obdoba modelu Kuře, avšak s více hráči. Jednotlivec proti skupině. Například krajní situaci, kdy je společně nějaká skupina lidí na záchranném člunu, do kterého zatéká. Pokud jeden z této skupiny skočí přes palubu, zachrání tím ostatní, ale sám zřejmě zahyne.

Ostatní Dilema dobrovolníka Jeden ze skupiny Velká ztráta Spolupracovat Nespolupracovat Jeden ze skupiny Ostatní získají, ale dobrovolníci mají náklady Ostatní získají, ale dobrovolník má náklady Všichni kromě dobrovolníků získají, ale konkrétní nespolupracující jednotlivec nemá náklady Velká ztráta

Manželský spor Manželé mohou strávit večer společně, ale každý z nich má jiné představy o tom jak. Manžel chce jít na fotbalový zápas a žena na nákupy. Oba manželé spolu rádi tráví čas a mají alespoň nějaký (větší) užitek ze společného večera, i když není vybrána jejich preference, než z večera, kdy je každý z manželů sám. Každý z manželů se rozhoduje samostatně.

Manželský spor Manželka Manžel 2 1 1 2 VN > NV > VV = NN V – výhodná N - nevýhodná Manželka Kopaná Nákupy Manžel 2 1 1 2

Manželský spor Existují dvě rovnovážná řešení - celkem tedy dva sedlové prvky (1;1) a (2;2) s výplatami (2;1) a (1;2). Pokud bude muž teoreticky volit pro sebe výhodnější první sloupec, ale žena pro sebe výhodnější druhý řádek, tak bude paradoxně výsledkem výplata (0;0)

Lov na jelena Jde o opačnou verzi Vězňova dilematu, kde kooperace je dominantní strategií, respektive, kde se ani jednomu z hráčů nevyplácí podvádět a volí spolupráci. Hráči mohou sami ulovit zajíce, nebo ve spolupráci jelena (jelena lze ulovit pouze spoluprací dvou hráčů). Jelen přitom přináší oběma hráčům (tj. každému z hráčů) větší užitek než zajíc.

Lov na jelena K – kooperovat N - nekooperovat Lovec 2 Lovec 1 2 5 5 16 KK > NK > NN > KN K – kooperovat N - nekooperovat Lovec 2 Lov zajíce Lov jelena Lovec 1 2 5 5 16

Lov na jelena Nashova rovnováha nastává v pravém dolním rohu matice s výplatami (16;16). Přestože existují dva sedlové prvky, dominantní strategií bude lov jelena. Lovem jelena získají oba hráči nejvyšší výplatu. Pokud pouze jeden z hráčů loví jelena, ztrácí tento hráč vše, lovem zajíce však (nespolupracující) jednotlivec získává méně než spoluprací při lovu jelena.

Děkuji za pozornost. Jiří Mihola jiri.mihola@quick.cz www.median-os.cz Teoretický seminář VŠFS Jiří Mihola jiri.mihola@quick.cz www.median-os.cz Děkuji za pozornost.