Nelinearity s hysterezí Přerušení platnosti relace vytváří dvě různé charakteristiky, jejichž platnost je podmíněna směrem pohybu Hystereze přepínače x = m 1 přepnutí z větve f b (x) na f a (x) x = m 2 přepnutí z větve f a (x) na f b (x) x w fafa fbfb m1m1 m2m2  H =1  H =0 - platí větev

Nelinearity s hysterezí Reléový regulátor  =  0.3

Nelinearity s hysterezí Přerušení platnosti relace vytváří dvě různé charakteristiky, jejichž platnost je podmíněna směrem pohybu Hystereze přepínače x w fafa fbfb  H =1  H =-1 - platí větev f a (x) tj. x monotónně klesá - změna x se zastavila a obrátila znaménko a probíhá pohyb z jedné větve na druhou rychlostí dx/dt při w = konst. - platí větev f b (x), tj. x monotónně roste. platí jen pokud proměnná x monotónně klesá platí jen pokud proměnná x monotónně roste

Relace modelu daná tabulkou - interpolace Existující kauzální vztah, např. y = y(x), neumíme vyjádřit analytickoufunkcí, reprezentován pouze tabulkou vzájemně si odpovídajících hodnot x i a y i i N xixi x1x1 x2x2 x3x3 xNxN yiyi y1y1 y2y2 y3y3 yNyN předpoklad: data řídké, ale spolehlivé, v modelu mají být dodrženy jako dané a) velikost x se porovnává s tabulkovými daty b) hledané y se pak určí dosazením do interpolačního polynomu zvoleného řádu, proloženého potřebným počtem tabulkových bodů. Procedura interpolace

Lineární interpolace Interpolace polynomem třetího stupně, procházejícím nejbližšími čtyřmi body tabulky kde

Optimalizace parametrů počítačového modelu Jednou z možných motivací tvorby matematického modelu je úloha optimalizace vlastností (parametrů) systému bez nutnosti provádění nákladných experimentů. V některých případech je práce s modelem jedinou možností jak tyto optimální vlastnosti nalézt Dynamický systém x(t)x(t) y(t)y(t) u(t)u(t) p1p1 p2p2 pNpN - vektor vzájemně nezávislých parametrů Omezující podmínky vymezují v R N oblast přípustných parametrů

Kritérium optimality přiřazuje reálné číslo Q každé variantě chování modelu Integrální tvar kritéria q - vybraný ukazatel kvality T Q – doba simulace Dynamický systém x(t)x(t) q u(t)u(t) p2p2 pNpN Q kritérium optimality je dáno poslední hodnotou výstupu integrace pro t = T Q, t.j. Q = Q(T Q ) Optimalizační úloha spočívá v systematickém opakování simulačního experimentu vždy pro určité hodnoty p (během simulace neměnné) a vyhodnocování kritéria optimality Q. Obvykle je cílem nalézt takové parametry p aby Q bylo min (max).

gradient funkce Q(p) Nutnou podmínkou k tomu, aby nastal extrém Q(p), je vznik tzv. stacionárního bodu podmínka splněna v případě extrému, ale i sedlového bodu Postačující podmínka extrému aby Hessova matice druhých derivací (hessián) byla pozitivně definitní, tj aby všechny její minory hlavní subdeterminanty) byly kladné