Vektorové prostory

vektor uspořádaná n-tici tvaru (u1, u2, ..., un), kde ui  R (i = 1, 2, …n) prvky u1, u2, ..., un - souřadnice vektoru n se nazývá dimenze nebo rozměr vektoru (0, 0, ..., 0) nulový vektor dimenze n

Vektorový prostor V nad R množina V všech uspořádaných n-tic (u1, u2, ..., un), kde ui  R n-rozměrný vektorový prostor nad R

Operace s vektory u = (u1, u2, ..., un) , v = (v1, v2, ..., vn) Rovnost vektorů u = v u1 = v1 , u2 = v2 , ... , un = vn Součet vektorů u + v (u1 + v1 , u2 + v2 , ... , un + vn) Součin vektoru a reálného čísla au (au1, au2, ..., aun)

Vektor opačný k vektoru u značí se –u platí pro něj u + (–u) = o souřadnice vypočítáme –u = (–1).u = (–u1, –u2, ..., –un)

rozdíl vektorů u a v u – v = u + (–v)

Lineární kombinace vektorů 3.(1, 2, –1) + 2.(0, 2, 1) + 1.(4, 0, –2) = (3, 6, –3) + (0, 4, 2) + (4, 0, –2) = (7, 10, –3) Vektor (7, 10, –3) je lineární kombinací vektorů (1, 2, –1), (0, 2, 1), (4, 0, –2)

Je vektor (5, 12, –17) lineární kombinací vektorů (1, 3, –1), (–1, –2, 5) a (1, 5, 8)? (5, 12, –17) = a(1, 3, –1) + b(–1, –2, 5) + c(1, 5, 8) (5, 12, –17) = (a – b + c, 3a – 2b + 5c, –a + 5b + 8c) a – b + c = 5 3a – 2b + 5c = 12 –a + 5b + 8c = –17

Kdy je vektor lineární kombinací ostatních vektorů? Má-li soustava rovnic řešení (jedno nebo i nekonečně mnoho) je vektor lineární kombinací ostatních Nemá-li soustava rovnic řešení není vektor lineární kombinací ostatních

Závislé a nezávislé vektory Jsou vektory (3, 2, 1), (0, 1, –1), (6, 7, –1) závislé nebo nezávislé? a(3, 2, 1) + b(0, 1, –1) + c(6, 7, –1) = (0, 0, 0) a = b = c = 0 triviální řešení – existuje vždy 3a + 6c = 0 2a + b + 7c = 0 a – b – c = 0

Nezávislé vektory existuje pouze triviální řešení a = b = c = 0 Závislé vektory existuje i netriviální řešení a  0 nebo b  0 nebo c  0

Ekvivalentní úpravy Zachovají lineární závislost, resp. lineární nezávislost skupiny vektorů. záměna pořadí vektorů ve skupině vynásobení některého vektoru skupiny nenulovým číslem přičtení k některému vektoru skupiny lineární kombinace zbývajících vektorů této skupiny

Nezávislé vektory (1, 1, –1, –2) (0, 1, 2, 8) (0, 0, 8, 35) (0, 0, 0, 7) Každý následující vektor začíná větším počtem nul než předchozí vektor

Závislé vektory (1, 1, –1, –2) (0, 1, 2, 8) (0, 0, 8, 40) Dva stejné vektory Jeden vektor je násobkem druhého (0, 0, 1, 5) Nulový vektor

Dimenze a báze vektorového prostoru

jeden vektor všechny násobky vytvoří jednorozměrný prostor např. přímku

dva vektory nezávislé vygenerují dvourozměrný prostor např. rovinu vygenerují jednorozměrný prostor např. přímku

tři vektory nezávislé vygenerují třírozměrný prostor např. prostor vygenerují jednorozměrný nebo dvourozměrný prostor např. přímku nebo rovinu

Systém generátorů každá skupina vektorů generuje určitý prostor tyto vektory tvoří systém generátorů tohoto prostoru

Definice Nechť v1, v2, …, vm  V jsou n-rozměrné aritmetické vektory. Množina všech lineárních kombinací a1v1 + a2v2 + a3 v3 + … + am vm, kde ai  C tvoří vektorový prostor nad C.

Definice O vektorovém prostoru V říkáme, že byl vytvořen (generován) vektory v1, v2, …, vm. Tyto vektory nazýváme systém generátorů prostoru V.

Jedná se o systém generátorů třírozměrného prostoru?

lineárně nezávislý systém generátorů Báze lineárně nezávislý systém generátorů neobsahuje žádné lineárně závislé vektory ze systému generátorů se vypustí všechny vektory, které jsou lineární kombinací ostatních báze je podmnožina systému generátorů

vektory v1, v2, …, vn  V tvoří bázi vektorového prostoru V každá skupina n+1 vektorů v1, v2, …, vn, u, kde u  V, je lineárně závislá vektor u je lineární kombinací vektorů v1, v2, …, vn

Nechť vektory v1, v2, …, vm tvoří bázi každá skupina m lineárně nezávislých vektorů u1, u2, …, um tvoří také bázi uvažovaného prostoru každé dvě báze daného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů

Dimenze vektorového prostoru je počet vektorů jeho báze

Kolik vektorů tvoří bázi jednorozměrného prostoru (přímky)? dvourozměrného prostoru (roviny)? třírozměrného prostoru?

Určete dimenzi a bázi vektorového prostoru: Systém generátorů: (1, 2, 5) (0, 1, 4) (0, 0, 1) Systém generátorů: (1, 2, 5) (0, 1, 4) (0, 2, 8) Systém generátorů: (1, 2, 2, 1, 5) (0, 1, 6, 4, 0) (0, 0, 0, 0, 1) Systém generátorů: (1, 2, 2, 1, 5) (0, 0, 0, 4, 0) (0, 0, 0, 1, 0)

Jedná se o bázi vektorového prostoru dimenze 3? Systém generátorů: (1, 2, 5) (0, 1, 4) Systém generátorů: (1, 2, 5) (0, 1, 4) (0, 2, 8) (0, 0, 1) Systém generátorů: (1, 2, 2, 1, 5) (0, 1, 6, 4, 0) (0, 0, 0, 0, 1) Systém generátorů: (1, 2, 2, 1, 5) (0, 0, 0, 4, 0) (0, 0, 0, 1, 0)

Elementární úpravy systému generátorů: Vygenerují stejný vektorový prostor Změníme pořadí vektorů Násobíme vektory libovolnými nenulovými čísly Přidáme k vektorům vektor, který je jejich lineární kombinací Sčítáme některý vektor systému generátorů s vektorem, který je lineární kombinací zbývajících vektorů systému Vynecháme vektor, který je lineární kombinací zbývajících vektorů

Souřadnice vektoru u: vzhledem k bázi v1, v2, …, vn u = a1v1 + a2v2 + …+ anvn u = (a1, a2, … an)

Kanonická báze např. pro čtyřrozměrný prostor: v1 = (1, 0, 0, 0) v2 = (0, 1, 0, 0) v3 = (0, 0, 1, 0) v4 = (0, 0, 0, 1) (1, 3, 2, –1) = 1. v1 + 3. v2 + 2. v3 – 1. v4

Určete souřadnice vektoru (1, 3, 2, –1) vzhledem k bázi (1, 1, 1, 1) (0, 1, 1, 1) (0, 0, 1, 1) (0, 0, 0, 1) Jedná se skutečně o bázi?

(1, 3, 2, –1) = a(1, 1, 1, 1) + b(0, 1, 1, 1) + + c(0, 0, 1, 1) + d(0, 0, 0, 1) (1, 2, –1, –3)

Otázky a úkoly Udejte příklad skupiny pěti vektorů, jejichž dimenze je 4 tak, aby tvořily systém generátorů prostoru dimenze 3. Udejte příklad skupiny čtyř vektorů, jejichž dimenze je 4 tak, aby tvořily systém generátorů prostoru dimenze 4. V obou skupinách vyznačte vektory, které tvoří bázi daného prostoru.

Otázky a úkoly Udejte příklad skupiny tří vektorů, jejichž dimenze je 4 tak, aby tvořily systém generátorů prostoru dimenze 4. Udejte příklad skupiny čtyř vektorů, jejichž dimenze je 3 tak, aby tvořily systém generátorů prostoru dimenze 4.

Otázky a úkoly Vysvětlete rozdíl mezi systémem generátorů a bází. Zapište vektory, které tvoří kanonickou bázi vektorového prostoru dimenze 4.

Vektorový prostor V má dimenzi 4 Kolik vektorů tvoří bázi tohoto prostoru? Jaká je dimenze vektorů tvořících bázi? Kolik vektorů tvoří systém generátorů tohoto prostoru? Jaká je dimenze vektorů tvořících systém generátorů? Kolik vektorů obsahuje skupina lineárně nezávislých vektorů?