Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Úloha 1 Geometrická posloupnost 2 Zapište následující posloupnosti rekurentně. Určete, co mají první tři posloupnosti společného. a)2, 4, 8,16, 32, 64 d) 1, 1, 1, 1, 1, 1 b)2, −4, 8, −16, 32, −64 c) a) a 1 = 2, a n+1 = 2 · a n b) a 1 = 2, a n+1 = −2 · a n b) a 1 = 1, a n+1 = 1 n a n+1 = a n · q Každý člen posloupnosti počínaje druhým získáme tak, že předchozí vynásobíme kvocientem q. c) a 1 =, a n+1 = · a n

Definice geometrické posloupnosti (GP) Geometrická posloupnost 3 Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že pro každé n  N je a n+1 = a n · q. Definice q – kvocient geometrické posloupnosti K jednoznačnému určení GP stačí znát pouze a 1 a q. q = a n+1 a n

n-tý člen GP Geometrická posloupnost 4 Vyjádřete vztah pro n-tý člen GP pomocí jejího prvního členu a 1 a kvocientu q a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 anan... a 2 = a 1 · q · q a 3 = a 1 · q 2 a 4 = a 1 · q 3... · q a n = a 1 · q n – 1 Dokažte MI

Vztah mezi r-tým a s-tým členem GP Geometrická posloupnost 5 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 arar... · q... · q a n = a 1 · q n – 1 asas... · q... a s = a 1 · q s – 1 a r = a 1 · q r – 1 a s = a r · q s-r

Součet s n prvních n členů GP Geometrická posloupnost 6 Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí. 1.Dokažme, že platí V(1) Dokažte předchozí větu matematickou indukcí. platí

Dokažte předchozí větu matematickou indukcí. 2. Dokažme, že  k  N: Součet s n prvních n členů GP Geometrická posloupnost 7 Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí. s k+1 = a 1 + a 2 + · · · + a k + a k+1 s k+1 = s k + a k+1 s k+1 = s k + a 1 · q k platí

Užití GP Geometrická posloupnost 8 a n = a 0 (1 + ) n p 100 Schéma, podle kterého lze vypočítat celkovou hodnotu na konci n-tého zhodnocovacího období za předpokladu, že:  počáteční hodnota je a 0  míra přírůstku je p %  jiné přírůstky ani úbytky se neočekávají

Užití GP Geometrická posloupnost 9 a n = a 0 (1 + 0,85 · ) n p 100 Schéma, podle kterého lze vypočítat celkovou částku na konci n-tého úrokovacího období za předpokladu, že:  vkladatel vloží částku a 0  úroková míra pro jedno úrokovací období je p %  daň z úroku je 15 %  vkladatel po celou dobu na účet nevkládá a z účtu nevybírá

Užití GP Geometrická posloupnost 10 Schéma, podle kterého lze vypočítat celkovou částku na konci n-tého úrokovacího období za předpokladu, že:  vkladatel na počátku vloží částku a 0  úroková míra pro jedno úrokovací období je p %  daň z úroku je 15 %  vkladatel na účet vkládá na začátku každého dalšího úrokovacího období částku a 0

Užití GP Geometrická posloupnost 11 Schéma, podle kterého lze vypočítat výši splátky s úvěru D za předpokladu, že:  úvěr je poskytnut na n let  roční úroková míra je p %  úrokovací období je 1 rok  úvěr je splácen v n splátkách  vkladatel po celou dobu na účet nevkládá a z účtu nevybírá

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN X. Geometrická posloupnost

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA