Množiny

Množina soubor určitých objektů, prvků

určení množiny umíme-li o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří nebo nepatří a  M b  M

podle počtu prvků prázdná  konečná nekonečná

Množinu můžeme určit: charakteristickou vlastností výčtem prvků např.: množinu všech reálných čísel x, která splňují nerovnost 3 < x < 7 lze zapsat {x  R 3 < x < 7 } výčtem prvků např.: množinu všech čísel, které mohou „padnout“ při hodu kostkou lze zapsat {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a b c {a, b, c} = {b, a, c} = {c, a, b} = ... nezáleží na pořadí

Uspořádaná dvojice prvků a, b  M značíme (a, b) platí (a, b)  (b, a) pro a  b definujeme jako množinu {{a}, {a, b}} obdobně uspořádaná n-tice množina prvků, u níž záleží na pořadí prvků

Intervaly množina a  x  b a < x < b a  x < b a < x  b označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +) (–, b (–, b) znázornění

Maximum a minimum označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +) minimum, maximum minimum maximum

Množina ohraničená shora existuje-li takové reálné číslo D (tzv. horní závora), že  x  M: x  D suprémum M D M

Množina ohraničená zdola existuje-li takové reálné číslo d (tzv. dolní závora), že  x  M: x  d infimum M d M

Intervaly označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +) (–, b ohraničená shora i zdola ohraničená zdola ohraničená shora

Suprémum a infimum označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) suprémum, infimum infimum suprémum

každý prvek množiny B je prvkem množiny M Podmnožina B  M každý prvek množiny B je prvkem množiny M M B e b a c d

aspoň jeden prvek množiny B není prvkem množiny M B není podmnožina M B  M aspoň jeden prvek množiny B není prvkem množiny M M B e b a c d

Jestliže A  B a B  A, pak A = B Rovnost množin Jestliže A  B a B  A, pak A = B B A b e a c d

Vlastní podmnožina B  M B  M a B  M M B e b a c d

Sjednocení množin A a B množina právě těch prvků, které patří aspoň do jedné z množin A a B A  B = {x  xA  xB } A B e b a c d

Průnik množin A a B množina právě těch prvků, které patří současně do obou množin A a B A  B = {x  xA  xB } A B e b a c d

Rozdíl množin A a B množina právě těch prvků, které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B A \ B = {x  xA  xB } A B e b a c d

Doplněk množiny A v základní množině Z (A  Z) je množina právě těch prvků základní množiny Z, které nepatří do množiny A. A Z a e c d b

Relace, zobrazení

Kartézský součin množin A, B (v tomto pořadí) množinu uspořádaných dvojic A  B = {(x, y)  x  A, y  B} A  B  B  A Příklad: A = {a}, B = {b, c} A  B = {(a, b), (a, c)} B  A = {(c, a), (b, a)}

Relace  mezi množinami A, B (v tomto pořadí) je libovolná podmnožina jejich kartézského součinu A  B

Zobrazení f množiny A do množiny B (f: A  B) je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak, že f(x) = y.

A B a b c d 2 3 1

Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3} Je uvedená relace zobrazení f množiny A do množiny B? {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)} {(a, 1), (a, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} {(a, 1), (d, 3), (c, 2)} {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

Zobrazení f množiny A do množiny B (f: A  B) Množinu A nazýváme definiční obor zobrazení f a množinu B nazýváme obor hodnot zobrazení f. Prvek y nazveme obraz prvku x a prvek x nazveme vzor prvku y.

A B a b c d 2 3 1

Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3} Je dáno zobrazení f množiny A do množiny B: {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}. Určete definiční obor Určete obor hodnot Jaký je obraz prvku c? Jaký je vzor prvku 1? Jaký je vzor prvku 3?

zadání zobrazení je nutné zadat předpis f, který prvku x přiřadí prvek y definiční obor A a obor hodnot B Příklad: A = Z, B = Z, f(x) = x pro  x  Z je zobrazení A = Z, B = N, f(x) = x pro  x  Z není zobrazení

zobrazení A do B A B a b c d 2 3 1 A B a b c d 2 3 1 zobrazení A na B

A B a b c d 2 3 1 A B a b c d 2 3 1 zobrazení z A do B zobrazení z A na B

Zobrazení množiny A na B jestliže každý prvek z množiny B má alespoň jeden vzor A B a 1 b c 2 d 3

Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4} Jedná se o zobrazení f množiny A na množinu B? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (a, 3), (d, 2)}

Prosté zobrazení jestliže každý prvek z množiny B má nejvýše jeden vzor A B a b c 4 2 3 1

Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4, 5} Je zobrazení f množiny A do množiny B prosté? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3), (a, 5)}

Zobrazení prosté a na jestliže každý prvek z množiny B má právě jeden vzor A B a b c 2 3 1

Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4} Je zobrazení f množiny A do množiny B vzájemně jednoznačné? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4)}

vzájemně jednoznačné zobrazení f: A  B 1 b c 2 3 A B a b c 2 3 1 inverzní zobrazení f-1: B  A

vzájemně jednoznačné zobrazení c 2 3 1 A B a b c 2 3 1 d A B a b c 2 3 1 4 zobrazení prosté zobrazení na