FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační sezóna.

Definice funkce f. Nechť A, B  R. Předpis, kterým se každému x  A přiřadí nejvýše jedno y  B, y = f (x ) se nazývá reálná funkce f jedné reálné proměnné z množiny A do množiny B. D(f) = {x  R; existuje y  R tak, že y = f (x ) } je definiční obor funkce f. R(f) = H(f) = {y  R; existuje x  D(f) tak, že y = f (x ) } je obor hodnot funkce f. Poznámka. Nechť A, B  R. Kartézským součinem A x B rozumíme A x B = { [x, y], kde x  A a y  B}. Záleží na pořadí prvků ve dvojici!! Grafem funkce f rozumíme G(f) = { [x, y] A x B, kde y = f (x)}. Nechť [x, y], [m, n] A x B. [x, y] = [m, n] právě, když x = m a současně y = n.

Příklady. y2 Nejedná se o graf funkce. Existuje x takové, že k němu existují y1 a y2 tak, že y1 y2 . y1 1 [0,0] 1 x y1 Jedná se o graf funkce. Definiční obor funkce je D( f ) = R – (x1 , x2 ). 1 [0,0] x1 1 x2

Speciální typy funkcí. Nechť A, B  R. Funkce f je funkcí na množině A, jestliže D (f) = A. Funkce f je funkcí na množinu B, jestliže R (f) = B. Funkce f je funkce prostá na množině A, jestliže A  D (f) a současně pro každé dva body x1 , x2 A, x1  x2 platí f (x1)  f ( x2). Nechť f je funkce definovaná na množině A, g je funkce definovaná na množině B. Nechť f (A)  B  . Pak definujeme funkci h na množině A tak, že h( x ) = g(f( x )). f -1 se nazývá inverzní funkcí k funkci f na A  D (f), jestliže f je prostá na A  D (f) D(f -1 ) = f (A)  R( f ) a R(f -1 ) = A  D (f) [x, f(x)] = [f -1 (y), x] pro každé x  A  D (f). Poznámka. Speciálně funkce identita I ( x ) = x, x  A  R. Nechť f je funkce prostá na množině A  D (f). Označíme g = f -1. D(f -1 ) = f (A), R(f -1 ) = A. Odtud f (A)  D (g)  , g (A)  D (f)   a lze provést f -1 (f) = f (f -1) = I.

Příklad. přiřazení f : člověk rodné číslo D( f )  {všichni žijící lidé na zemi} D( f ) = {všichni lidé žijící v ČR} f je funkce prostá, nezobrazuje na {všechny 10-tice přirozených čísel} f-1 je funkce z {všechny 10-tice přirozených čísel} na {všichni žijící v ČR} Příklad. přiřazení f : člověk číslo účtu D( f )  {všichni žijící lidé na zemi} D( f )  {všichni žijící lidé v ČR} f není funkce Příklad. přiřazení f : číslo účtu člověk f je funkce, není prostá, není na {všichni žijící lidé v ČR} f -1 není funkce

Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = x 2 + 1, D( g ) = R, R ( g ) = <1, +). f ( g (x)) = (x 2 + 1)1/2 , pokud R ( g )  D( f ) . To je ale pravda. g (f (x)) = (x½)2 + 1 = x + 1, pokud R ( f )  D( g ) . To je ale pravda. Avšak f ( g (x))  g (f (x)) !!! Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = - x 2 - 1, D( g ) = R, R ( g ) = (- , -1>. f ( g (x)) = ( - x 2 - 1)1/2 . R ( g )  D( f ) = (- , -1>  <0, +) = . Proto f ( g (x)) nelze provést !! g (f (x)) = - (x½)2 - 1 = - x – 1. R ( f )  D( g ) = <0, +)  R  . Proto f ( g (x)) lze provést !! Algebraické operace s funkcemi. (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) , totéž pro odčítání, násobení a dělení. Při tom ale x  D ( f )  D( g ) !!!!!. f ( x ) = g ( x ) právě, když předpisy f a g se rovnají a současně D ( f ) = D( g ).

Monotonie funkcí. Nechť f je funkce definovaná na množině A. f je rostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) < f ( y ). f je klesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) > f ( y ). f je neklesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ). f je nerostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ).

Základní typy funkcí. Lineární funkce. y = ax + b a je směrnice přímky, určuje sklon přímky, b je posun po ose y.

Definiční obor i obor hodnot lineární funkce pro a 0 je R. Definiční obor lineární funkce pro a = 0 (konstantní funkce) je R. Obor hodnot je {b}. Grafem lineární funkce je přímka. Lineární funkce je rostoucí  a > 0 klesající  a < 0 nerostoucí  a  0 neklesající  a  0. K sestrojení grafu lineární funkce stačí určit 2 body: Pokud b ≠ 0, a ≠ 0 pak stačí určit x takové, že ax + b = 0, [0, b]. Pokud b = 0, a ≠ 0, pak [0, 0] [x, ax], kde x je libovolné různé od 0. Pokud a = 0, grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0, b].

Funkce absolutní hodnota. y = | ax + b | Pro ax + b > 0, a  0, je y = | ax + b | = ax + b, Pro ax + b < 0, a  0, je y = | ax + b | = - ax - b. y - ax - b ax + b x - b / a

Polynomy. y = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn Pokud an  0, jedná se o polynom n – tého řádu. Definiční obor polynomu je R. Polynom 0. řádu – konstantní funkce. y = a0 Polynom 1. řádu – lineární funkce. y = a0 + a1x Polynom 2. řádu – kvadratická funkce. y = a0 + a1x + a2 x2, a2  0 Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem v bodě x = - a1 / 2a2. Parabola je určena 3 body: [x , 0], [0 , y], [- a1 / 2a2, y], (pokud tyto body existují). Určit bod [x , 0] znamená vyřešit kvadratickou rovnici 0 = c + bx + a x2. Diskriminant D = b2 – 4ac. Reálné kořeny existují pouze pro D  0. x 1,2 = ( - b  D)/(2a)

Příklady.

Polynom 3. řádu. y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3, a3  0 Příklady. Polynom stupně n může mít nejvýše n kořenů a (n – 1) vrcholů.

S rostoucím n pro pevné x: klesají hodnoty polynomu y = x n k hodnotě 0 na intervalu (0, 1). rostou hodnoty polynomu y = x n do +  na intervalu (1, +  ).

Lineární lomená funkce. y = (ax + b) / (cx + d), x  -d / c Grafem racionální funkce je hyperbola. Asymptoty hyperboly jsou x = - d / c, y = a / c

Mocninná funkce. y = x n Pro n  N se jedná o polynom. Pro – n  N se jedná o racionální lomenou funkci. n = p / q, například y = x ½.

S rostoucím n N pro pevné x: klesají hodnoty polynomu y = x - n k hodnotě 0 na intervalu (1, + ), rostou hodnoty polynomu y = x - n do +  na intervalu (0, 1).

Příklad. Přírůstek populace, který závisí na populační hustotě a který je touto populační hustotou limitován, se často popisuje funkcí r ( N ) = aN / ( N + k ), N ≥ 0. Jedná se o lineární lomenou funkci s asymptotami N = - k, r = a.

1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b) Příklady k procvičení. 1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b) c) , 2. Nakreslete grafy funkcí Definujte oblasti monotonie. 3. Jsou dány funkce f a g. Napište tvar funkcí h(x) = f(g(x)) a k(x)=g(f(x)). , a) f(x) = 1 – x2 g(x) = 2x b) f(x) = – x2