Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce

Ekonomické modelování Sylabus Východiska ekonomického modelování Typologie a rizika používání ekonomických modelů Definice, popis a kvantifikace rizika Simulace stochastických jevů Jednoduché aplikace Aplikace modelů při řízení tržních rizik Citlivostní analýza Dynamické zajišťování Value at Risk Aplikace modelů při posuzování investičních projektů Od analýz citlivosti ke statistickým simulacím Reálné opce Ekonomické modelování

Význam ekonomického modelování Ekonomické modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů v podmínkách rizika. Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek. Ekonomické modelování řeší především tyto úlohy: Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) Hodnotovou analýzu Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů) Ekonomické modelování

Charakteristika ekonomických modelů Typologie ekonomických modelů Strukturální (statické) modely – vycházejí z předpokladu tržní rovnováhy (úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, Gordonův oceňovací model atd.) Statistické (dynamické) modely – popisují chování systémů v závislosti na charakteristice rizikových faktorů. Riziko modelu Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (nesprávný model). Řízení rizika modelu Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem. Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí) Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení; jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů. Obecně nelze říci, jestli je riziko „dobré“ nebo „špatné“ (záleží na sklonu jednotlivce k riziku); na efektivním trhu (tzn. v chování firem) se však předpokládá riziková averze (vyšší riziko musí být odměněno vyšším očekávaným výnosem). Ekonomické modelování

Princip diverzifikace Riziko lze za určitých předpokladů snížit bez snížení očekávaného výnosu pomocí diverzifikace. U nezávislých rizik (pojišťovnictví, spotřebitelské úvěry) se vychází ze Zákona velkých čísel (Bernoulli 1713, Poisson 1835) Chování závislých rizik (např. tržní rizika) popisuje Moderní portfoliová teorie (Markowitz 1952) Ekonomické modelování

Příklad 1 (diverzifikace- ZVČ) Jak nejlépe investovat, existují-li možnosti bezrizikový vklad u spořitelny s úrokem 1%; směnečný úvěr s úrokem 12% a pravděpodobností nesplacení 5%? (srov. Vlachý s. 40-41) Spočítat očekávaný výnos a směrodatnou odchylku výnosů pro varianty: Vklad u spořitelny Jeden úvěr Dva úvěry Mnoho úvěrů Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Vklad vs 1 úvěr Posuzujeme očekávaný výnos/vážený průměr scénářů E(r) a riziko/směrodatnou odchylku s(r). Spořitelna => Jeden scénář (splatí) BE(r) = 1%; Bs(r) = 0% Směnka => Dva scénáře (splatí×nesplatí) UE(r) = 95%×12%+5%×(-100%) = 6,4%; Us(r)=95%×(12%-4,5%)2+5%×(-100%-4,5%)2 = 24,48% Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Dva úvěry Dvě směnky => Tři scénáře Oba dlužníci splatí: r++ = 12%, P++= 95%×95% = 90,25% Oba nesplatí: r-- = 100%, P--= 5%×5% = 0,25% Jeden splatí, druhý ne: r+- = 0,5×12% + 0,5×( 100%) = 44%, P+-= 2×5%×95% = 9,5% 2UE(r) = 90,25%×12%+0,25%×(100%)+ 9,5%×(44%) = 6,4%; 2Us(r)=90,25%×(12%4,5%)2+0,25%×(100% 4,5%)2+9,5%×(–44% 4,5%)2 = 17,26% Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Zobecnění Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací (zákon velkých čísel). N σ Specifické riziko Systematické riziko Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. Ekonomické modelování

Analytická vs numerická řešení modelů V řadě případů je analytické řešení určitého problému složité, případně vůbec neexistuje. Numerické metody nabývají na významu především s ohledem na dramatické zvyšování výkonu výpočetní techniky. Příklady: Bootstrap (interpolace výnosové křivky) (srov. Vlachý s. 135-137) Rekurze (Cox-Ross-Rubinsteinova metoda oceňování opcí) Iterace (výpočet výnosu do splatnosti nebo IRR) Simulace (analýza scénářů, Monte Carlo) Ekonomické modelování

Příklad 2 (výnos do splatnosti, citlivost) Spočítejte výnos do splatnosti SD 3,8%/2015 při nákupní ceně 99,6. Odhadněte změnu jeho tržní hodnoty při růstu tržních úrokových sazeb o 1 procentní bod. Ekonomické modelování

Příklad 3 (hazardní hra) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne číslo menší než 8? Z tabulky kombinací P(<8) = n(<8)/n = 21/36 = 58,3%. x \ y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ekonomické modelování

Experimentální řešení Je ale také možné skutečně mnohokrát hodit dvěma kostkami a spočítat relativní četnosti Statistická simulace = Metoda Monte Carlo (parametrický model) Bylo by rovněž možné vzít záznamy ze skutečných her v kostky a spočítat četnosti zkoumaného jevu Historická simulace (neparametrický model) Ekonomické modelování

Realizace statistických simulací Mechanické metody (hody mincí, vrhy kostkou, speciální zařízení) Využití výpočetní techniky Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) Běžný tabulkový procesor (např. Excel) Generátory náhodných čísel Tabulky náhodných čísel Mechanické, fyzikální, chemické generátory Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti) Ekonomické modelování

Statistické simulace v Excelu Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0) ... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand()×6)+1 ... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6} Transformace na běžná spojitá rozdělení (pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =norminv(rand(); m; s) ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv(), případně analytická řešení Pozn.: do verze Excel 2002 se nedoporučuje použití vestavěného generátoru pro velké modely (lze pořídit generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček). Ekonomické modelování

Příklad 4 (Ludolfovo číslo) Jak zjistit hodnotu Ludolfova čísla (p)? Analyticky (geometricky)... Archimédes (200BC) => Ludolf van Ceulen (1600AD) (pomocí mnohoúhelníků opisujících obvod kružnice) Numericky (Monte Carlo)... de Buffon (1777- Buffonova jehla) Pro obsah kruhu platí S= p r2 Obsah čtvrtkruhu o jednotkovém poloměru r = 1 je tedy SQ= p/4. Čtvrtkruh se vejde do čtverce o obsahu Sƀ= 1. Platí tedy, že poměr Sƀ / SQ= 4/p => p = 4 SQ. Poměr obsahů lze odhadnout náhodným generováním souřadnic {x; y} a zjištěním četností pokusů, při nichž x2 + y2 ≤ 1. Ekonomické modelování

Příklad 5 (investiční strategie) Podnik je portfoliem tří projektů, jejichž očekávanou hodnotu za rok lze vyjádřit diskrétními rovnoměrnými rozděleními {1; 2; 3; 4; 5; 6} (A a B), resp. {1; 6} (C). Provozní náklady na každý projekt činí 1; počáteční hodnota (velikost investice) každého projektu činí 2. Posuďte výnosnost kapitálu a rizikovost za předpokladu investice z vlastních zdrojů, resp. 50% (75%, 90%) financováním úvěrem. Porovnejte s analogickým investičním rozhodováním, není-li zohledněno riziko. Lišily by se nějak výsledky, pokud by podnik přijal pouze jeden z uvedených projektů? Ekonomické modelování