Numerické řešení počítačového modelu Problém: numericky simulovat (modelovat) chování systému (odezvy zahrnující vliv počátečních podmínek a změn vstupů) Numerický výpočet Vztah výstupní rovnice je pouze algebraickým přepočtem, v numerickém řešení se nepromítá jako problém Pozn. Nejjednodušší možné numerické řešení – náhrada derivace diferenčním podílem - diskrétní čas - perioda vzorkování Eulerova metoda
Obecný vícekrokový (víceuzlový) vzorec pro numerické řešení stavové rovnice Numerické metody řešení přiřazují ke spojitému modelu model diskrétní. Na rozdíl od diskrétní stavové formulace nevyužívají pro výpočet x(k+1) jen hodnot x a f v čase k, ale i hodnot starších Klasifikace metod numerického řešení explicitní, -1=0 implicitní, -10 1) vzorce jednouzlové, p=0 víceuzlové, p>0 počet uzlů – p+1 2) vzorce 3) řád metody, čím vyšší řád, tím vyšší přesnost
Lokální chyba vzorce Euler, r=1 lichoběžníkový kor., r=2 rozdíl mezi numerickým a exaktním řešením na intervalu Dt, při předpokladu že x(tk) známe naprosto přesně. slouží především k vzájemnému porovnání vzorců - globální chyba řešení – akumulace lokálních a zaokrouhlovacích chyb
Runge-Kutta, r = 2
Runge-Kutta v programu Matlab - vzorce v Simulink pro pevný krok (fixed step solvers) ode5 - Dormand-Prince ode4 - Runge-Kutta 4tého řádu ode3 - Bogacki-Shampine ode2 - Heun (ode1 - Euler) Vnořené R-K vzorce (solvery v Simulinku i funkce v Matlabu): ode45 ode23 - zahrnují v sobě algoritmus pro adaptaci Dt
Stabillita numerické metody Aplikací numerické metody pro řešení stavové rovnice je spojitý systém nahrazen diskrétním. Z toho vyplývá zavedení lokální chyby v každém kroku jiné podmínky stability Stabilita jednouzlových vzorců si – vlastní čísla matice A zi - vlastní čísla matice M podmínka stability:
Oblasti stability explicitních vzorců se navzájem liší jen nepodstatným způsobem. Oblasti stability jednouzlových explicitních metod: E - Eulerova, RK-2, RK-4 - Rungeho-Kutty 2. a 4.řádu Přesnost explicitních Runge-Kutta metod značně vyšší než přesnost Eulerovy metody, ale oblasti stability jsou podobně malé
Implicitní metody - široká oblast stability - problematická realizace A - stabilní metody, oblast stability pokrývá celou levou polorovinu Eulerova metoda, Lichoběžníkový korektor, ... Stab. - použití pro stiff systémy (systémy jejichž módy jsou definovány řádově rozdílnými časovými konstantami)
Výpočet podle implicitních metod Přímé řešení použití u lineárních systémů, nutná inverze matice (nesmí být singulární ani špatně podmíněná) Semiimplicitní metody – pro nelineární systémy Použití Jacobiho matice Jx - výpočet Jx je nutné provádět v každém kroku - semiimplicitní metody nejsou A stabilní, ale dovolují podstatně delší krok než explicitní metody