ARCHIMÉDŮV ZÁKON Autor: RNDr. Kateřina Kopečná Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55

Opakování: Na těleso ponořené do kapaliny působí svisle vzhůru vztlaková síla. vztlakovou sílu umíme určit pomocí siloměru vztlaková síla závisí na objemu ponořené části tělesa a na hustotě kapaliny z řešení úloh již např. víme: vztlaková síla se nemění s hloubkou ponoření vztlaková síla nezávisí na objemu kapaliny, ve které je těleso ponořené

Odvození velikosti vztlakové síly 𝐹 vz velikost vztlakové síly určíme jako rozdíl hydrostatických tlakových sil na dolní a horní podstavu ponořeného tělesa (kvádru) 𝐹 vz = 𝐹 2 − 𝐹 1 𝐹 vz =𝑆 ℎ 2 𝜌 k 𝑔−𝑆 ℎ 1 𝜌 k 𝑔 𝐹 vz = 𝑆 𝜌 k 𝑔 ℎ 2 − ℎ 1 ℎ 𝐹 vz = 𝑆ℎ 𝑉 t 𝜌 k 𝑔= 𝑉 t 𝜌 k 𝑔

Vztlaková síla 𝐹 vz - vztah pro výpočet: 𝐹 vz = 𝑉 t ∙ 𝜌 k ∙𝑔 Vztah: Popis veličin ve vztahu: 𝑉 t … objem ponořené části tělesa 𝜌 k … hustota kapaliny vztah platí obecně, i v případě, že je ponořená pouze část tělesa, za objem V pak dosazujeme jen objem ponořené části tělesa

Vzorový příklad: Zadání: Řešení: Urči velikost vztlakové síly 𝐹 vz , která působí na těleso o objemu 4 cm 3 ponořené zcela: a) do vody, b) do ethanolu. Řešení: 𝑉 t =4 cm 3 =0,004 m 3 𝜌 k =1000 kg/ m 3 𝐹 vz = ? N 𝐹 vz = 𝑉 t ∙ 𝜌 k ∙𝑔 𝐹 vz =0,004∙1 000∙10 N 𝐹 vz =40 N 𝑉 t =4 cm 3 =0,004 m 3 𝜌 k =789 kg/ m 3 𝐹 vz = ? N 𝐹 vz = 𝑉 t ∙ 𝜌 k ∙𝑔 𝐹 vz =0,004∙789∙10 N 𝐹 vz = 32 N

Zamyšlení nad vztahem pro vztlakovou sílu: vztah: 𝐹 vz = 𝑉 t 𝜌 k 𝑔 platí: 𝑚=𝑉∙𝜌 proto: 𝐹 vz = 𝑉 t 𝜌 k 𝑔 𝑚 =𝑚𝑔= 𝐹 g slovní vyjádření: vztlaková síla je rovna gravitační síle působící na těleso o hmotnosti m Jaké je to ale těleso? ze vztahu plyne, že 𝑚= 𝑉 t ∙ 𝜌 k tedy jedná se o těleso, které má objem jako ponořená část našeho zkoumaného tělesa, ale hustotu má jako kapalina, do které jsme těleso ponořili (ne jako námi ponořené těleso!) nebo-li: vztlaková síla je rovna gravitační síle působící na kapalinu stejného objemu jako je objem ponořené části tělesa

ARCHIMÉDŮV ZÁKON vztah pro vztlakovou sílu: 𝐹 vz = 𝑉 t 𝜌 k 𝑔 Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou 𝑭 𝐯𝐳 , jejíž velikost je rovna gravitační síle 𝑭 𝐠 působící na kapalinu stejného objemu, jako je objem ponořené části tělesa.

Názorná představa: vztlaková síla je rovna gravitační síle působící na „těleso z kapaliny“ o objemu ponořené části skutečného tělesa př. „koule z vody“ má stejný objem jako ponořená ocelová koule určíme velikost gravitační síly působící právě na tuto „kouli z vody“ výsledek je zároveň hledaná velikost vztlakové síly př. „hranol z vody“ má stejný objem jako ponořená část dřevěného hranolu určíme gravitační sílu působící na „hranol z vody“, který je menší než skutečný dřevěný hranol (zajímá nás jen objem ponořené části) výsledek je opět roven velikosti vztlakové síly

POKUS: Postup: Vysvětlení: Poznámka: naplníme mikrotenový sáček obarvenou vodou a zavážeme ho tak, aby v něm nebyl vzduch sáček zavěsíme na siloměr a změříme gravitační sílu 𝐹 g sáček postupně pomalu ponořujeme do vody, siloměr ukazuje stále menší sílu je-li sáček zcela ponořen, siloměr ukazuje nulu Vysvětlení: sáček s vodou je nadlehčován stejně velkou silou, jako je přitahován k Zemi vztlaková a gravitační síla jsou v rovnováze: 𝐹 vz = 𝐹 g sáček s vodou je již zároveň „těleso z vody“ o stejném objemu jako ponořené těleso Poznámka: předpokládáme, že hmotnost a objem samotného sáčku je nepatrná (vzhledem k hmotnosti a objemu vody v něm)

ARCHIMEDES ze Syrakus (287 – 212 př. n. l.) řecký matematik, fyzik, filozof, vynálezce, astronom jeden z nejvýznamnějších vědců klasického středověku, mezi matematiky snad jeden z nejvýznamnějších vůbec [obr2] [obr3] [obr1]

ARCHIMEDES ze Syrakus 287 – 212 př. n. l. matematika: výpočet plochy nepravidelného tělesa pomocí pravidelných plošek délka kružnice a přesný odhad čísla pí (𝜋) fyzika: mechanická rovnováha – princip páky, moment síly, těžiště mnoho vynálezů - např. kladkostroj, šnekové čerpadlo na nabírání vody (viz. obrázek) považován za zakladatele hydrostatiky uvědomoval si nestlačitelnost vody, využíval ji k určování objemu nepravidelných těles pochopil význam pojmu hustota nejznámější: formuloval Archimedův zákon [obr4] [obr5]

Nejznámější výroky a legendy: smrt Archimeda při obléhání jeho rodného města Syrakus během druhé punské války byl zabit římským vojákem Archimedes údajně vojáka před svou smrtí požádal, aby počkal, než dořeší svou matematickou úlohu, ale voják se naopak rozzlobil a zabil ho známý výrok: „Žádám tě, neruš mi mé kruhy.“ (latinsky: „Noli tangere circulos meos.“, někdy: „Noli turbare circulos meos.“) [obr6]

Nejznámější výroky a legendy: HISTORKA O ZLATÉ KORUNĚ SYRAKUSKÉHO KRÁLE král Archimeda požádal, aby zjistil, zda koruna ve tvaru vavřínového věnce byla skutečně vyrobena z ryzího zlata, korunu nesměl poškodit řešení ho prý napadlo při koupeli, všiml si, že když se potopí, voda stoupne vyskočil z koupele a zcela nahý běhal ulicemi Syrakus a volal: „Heuréka!“, česky: „Nalezl jsem!“ [obr7]

Pravost koruny: 1. možnost: 2. možnost: ponořil korunu do nádoby naplněné vodou až po okraj objem přeteklé vody je rovný objemu koruny poté pomocí hustoty dopočítal, kolik by měla koruna vážit, kdyby byla celá ze zlata zjistil, že opravdu byla převážně ze zlata, ale bylo v ní přidáno i stříbro tato metoda je ale zpochybňována, objem by musel být změřen extrémně přesně 2. možnost: prý spíše použil řešení založené na jeho objevu, a to na Archimédově zákonu na vzduchu vyvážil na pákových vahách korunu ryzím zlatem poté korunu i zlaté závaží ponořil do vody kdyby koruna měla stejnou hustotu, měla by i stejný objem a tělesa by byla nadlehčována stejnou silou, rovnováha vah by nebyla porušena koruna ale měla menší hustotu, proto měla větší objem a byla více nadlehčována [obr8]

Nejznámější výroky a legendy: ZAPALOVÁNÍ LODÍ NA DÁLKU při obléhání Syrakus Archimedes prý zapaloval nepřátelské lodě na dálku pomocí zrcadel využil principu odrazu slunečních paprsků od zrcadel a jejich zaměření do jediného bodu na lodi o funkčnosti této zbraně se diskutovalo již v době renesance proběhlo několik praktických zkoušek se zrcadly a modely lodí – za podmínek nebe bez mráčku a loď se téměř nesměla pohybovat zbraň fungovala, ale na poměrně malou vzdálenost ARCHIMEDŮV DRÁP opět k obraně Syrakus je tvořen jeřábem, na kterém byl přivázán kovový hák loď plovoucí kolem hradeb hák zahákl, zvedl ji nahoru a loď se převrátila [obr9]

Nejznámější výroky a legendy: ZÁKONY PÁKY z knihy, kde se Archimedes věnuje zákonům páky pochází známý výrok: „Dejte mi pevný bod ve vesmíru a já pohnu celou Zemí.“ rovnováha na páce nastává, pokud velikosti momentů sil na obou stranách páky jsou stejně velké: 𝑀 1 = 𝑀 2 nebo-li 𝐹 1 ∙𝑟 1 = 𝐹 2 ∙ 𝑟 2 [obr10]

Otázky a úlohy: Vyber z následujících pojmů ty, na kterých závisí velikost vztlakové síly působící na těleso ponořené do kapaliny: (odpovědi: Z – závisí, NZ – nezávisí) hustota tělesa hustota kapaliny objem kapaliny hmotnost tělesa hmotnost kapaliny objem ponořené části tělesa hloubka, ve které je těleso zcela ponořeno tvar tělesa tvar nádoby, ve které je kapalina NZ NZ Z NZ NZ Z NZ NZ NZ

Otázky a úlohy: Navrhněte a proveďte pokusy, kterými ověříte, že vztlaková síla nezávisí: na tvaru ponořeného tělesa ponoříme např. těleso z plastelíny a pak jeho tvar změníme na hustotě tělesa ponoříme těleso o stejném objemu, ale z jiného materiálu na hmotnosti tělesa na hloubce zcela ponořeného tělesa těleso ponoříme do jiné hloubky (níž, výš) na tvaru nádoby stejné těleso ponoříme do nádoby jiného tvaru

Otázky a úlohy: Vypočtěte velikost vztlakové síly působící na dospělého muže zcela ponořeného ve vodě. Objem těla je asi 0,070 m 3 . Řešení: 𝑉 t =0,070 m 3 𝜌 k =1 000 kg/ m 3 𝐹 vz = ? N 𝐹 vz = 𝑉 t ∙ 𝜌 k ∙𝑔 𝐹 vz =0,070∙1 000∙10 N 𝐹 vz =700 N

Otázky a úlohy: Tři kuličky mají stejný objem 1 cm 3 . Jedna je z olova, druhá z oceli a třetí z hliníku. Kuličky zavěsíme na tři siloměry. Naměříme stejné nebo různé síly? naměříme různé síly každá kulička má jinou hmotnost a je tak přitahována k Zemi jinou gravitační silou Kuličky zavěšené na siloměrech ponoříme do vody. Naměříme stejné nebo různé síly? vztlakové síly působící na kuličky jsou stejné, a proto se hodnoty sil na siloměru změní o stejnou hodnotu a zůstanou tak různě velké Jsou vztlakové síly působící na kuličky ponořené do vody stejné? vztlakové síly jsou stejné, protože kuličky mají stejný objem a jsou ponořeny do stejné kapaliny

Otázky a úlohy: Kovovou tyčku zavěsíme na siloměr. Určíme tahovou sílu, kterou působí tyčka na pružinu siloměru. Nyní tyčku ponořujeme do vody v nádobě a na siloměru pozorujeme stále menší hodnotu tahové síly. Když je tyčka zcela ponořena a dál měníme hloubku ponoření, tahová síla na siloměru se již nemění. Vysvětli. Odpověď: vztlaková síla závisí pouze na ponořené části tělesa a na hustotě kapaliny pokud je těleso již zcela ponořeno, objem ponořené části se dál nemění a proto se nemění ani vztlaková síla

Otázky a úlohy: Na figurku z plastelíny zcela ponořenou ve vodě působí vztlaková síla 4 N. Jaký objem má figurka? Řešení: 𝐹 vz =4N 𝜌 k =1 000 kg/ m 3 𝑉 t = ? dm 3 𝐹 vz = 𝑉 t 𝜌 k 𝑔 → 𝑉 t = 𝐹 vz 𝜌 k 𝑔 𝑉 t = 4 1 000∙10 m 3 =0,000 4 m 3 =0,4 dm 3

Otázky a úlohy: Jakou silou zdvihneš kámen zcela ponořený ve vodě, je-li jeho hmotnost 13,8 kg a objem 4,5 dm 3 ? Řešení: 𝑚=13,8 kg 𝑉 t =4,5 dm 3 =0,004 5 m 3 𝜌 k =1 000 kg/ m 3 𝐹 vz = ?N 𝐹= 𝐹 g −𝐹 vz 𝐹=𝑚𝑔− 𝑉 t 𝜌 k 𝑔 𝐹= 13,8∙10−0,004 5∙1 000∙10 N 𝐹= 138−45 N 𝐹=93 N

Zdroje: [obr1]: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg [obr2]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_(Graphik).gif [obr3]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bust-of-archidamos.jpg [obr4]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Chambers_1908_Archimedean_Screw.png [obr5]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes-screw_one-screw-threads_with-ball_3D-view_animated_small.gif [obr6]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edouard_Vimont_(1846-1930)_Archimedes_death.jpg [obr7]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_bath.jpg [obr8]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_water_balance.gif [obr9]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedovo_tepelne_zaruzeni_2.png [obr10]: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_lever_(Small).jpg KOLÁŘOVÁ, Růžena; BOHUNĚK, Jiří. Fyzika pro 7.ročník základní školy. 2. upravené vydání. Praha: Prometheus, spol. s r.o., 2004, Učebnice pro základní školy. ISBN 80-7196-265-1.