Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu * 16. 7. 1996 Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu Matematika – 9. ročník *

Strany pravoúhlého trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník Co už víme C · odvěsna odvěsna A přepona B Strany pravoúhlého trojúhelníku

Pravoúhlý trojúhelník Co už víme 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐 · odvěsna odvěsna b a A přepona c B Pythagorova věta

Pravoúhlý trojúhelník Co už víme · · A S c B · · Množinou vrcholů všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou AB je kružnice k s průměrem AB mimo bodů A a B. Thaletova věta

Strany pravoúhlého trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník C · přilehlá protilehlá odvěsna odvěsna k úhlu a k úhlu a b a a A přepona c B Strany pravoúhlého trojúhelníku

Strany pravoúhlého trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník C · protilehlá přilehlá odvěsna odvěsna k úhlu b k úhlu b b a b A přepona c B Strany pravoúhlého trojúhelníku

Podobnost trojúhelníků Kotangens ostrého úhlu 𝐶 3 · 𝐶 2 · 𝐶 1 · 𝐶 · 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 1 : 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴 𝐶 2 : 𝐵 2 𝐶 2 = 𝐴 𝐶 3 : 𝐵 3 𝐶 3 Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme 𝐜𝐨𝐭𝐠= 𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 = 𝐛 𝐚

Kotangens ostrého úhlu Pravoúhlý trojúhelník ABC má délky stran: a = 9 cm; b = 12 cm; c = 15 cm. Určete cotg a a cotg b . co𝑡𝑔 = 𝑏 𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 𝑎 𝑏 C · protilehlá přilehlá přilehlá protilehlá b 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 12 9 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 9 12 odvěsna odvěsna k úhlu a k úhlu b k úhlu a k úhlu b 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 4 3 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 3 4 a b a 𝑐𝑜𝑡𝑔 =1,333 𝑐𝑜𝑡𝑔 =0,75 A přepona c B

Funkce y = cotg x Každému ostrému úhlu přísluší právě jedna hodnota kotangens. Kotangens ostrého úhlu je číslo, které je vždy větší než 0 a shora není omezeno. Proč? Protože délky odvěsen jsou libovolná kladná čísla. Předpis, který přiřazuje každému ostrému úhlu jeho hodnotu kotangens se nazývá funkce kotangens a zapisuje se y = cotg x. Definiční obor funkce y = cotg x  D(f) = (0°; 90°), obor hodnot H(f) = (0;+∞) (platí pro ostré úhly) Sestrojte graf funkce y = cotg x

Sestrojte graf funkce y = cotg x cotg a 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 O a 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

Graf funkce y = cotg x Grafem funkce y = cotg x je kotangentoida. Pro funkci s definičním oborem D(f) = (0°; 90°) je grafem její část. Pro funkci s definičním oborem D(f) = R – 2k·90°, kde k ∈ Z (sudé násobky) má tvar.

Tabulka základních funkčních hodnot funkce y = cotg x 𝟑 𝟑 𝐜𝐨𝐭𝐠 a nedefinováno 𝟑 𝟏 𝟎 Ostatní hodnoty lze určit z grafu funkce, nalézt v tabulkách, určit pomocí kalkulačky či dohledat na Internetu. Například: http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/goniometricke/tabulka-hodnot-funkci-sinus-cosinus.php

Kotangens ostrého úhlu Příklady 1. Urči: a) cotg 62° = 1,881 (výsledky zaokrouhli na tři desetinná místa) b) cotg 52°40´ = 1,311 · c) cotg 28°17´ = cotg 28°20´ = 0,539 · d) cotg 81,3° = cotg 81°18´ = cotg 81°20´ = 6,561 2. Urči velikost úhlu a, když: a) cotg a = 0,249 3 a = 76° b) cotg a = 1,206 a = 39°40´ c) cotg a = 0,789 8 a = 51°40´ d) cotg a = 12,717 a = 4°30´