EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI (průběh funkce - asymptoty) Anotace Asymptoty jako nástroj zpřesnění rýsování grafu funkce v úlohách o průběhu funkce. Animace a obrázky názorně ukazují problematiku asymptot funkce. Asymptoty bez směrnice, asymptoty se směrnicí, jejich zjišťování. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe význam asymptot při rýsování grafu funkce, dovede určovat asymptotu bez směrnice pomocí nevlastní jednostranné či oboustranné limity v bodě nespojitosti funkce či asymptotu se směrnicí, dovede vypočítat koeficienty a, b v rovnici asymptoty y = a x + b. Klíčová slova Asymptota grafu funkce, asymptota bez směrnice, asymptota se směrnicí. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 22. 12. 2013

PŘIPOMENUTÍ 1 - GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE f(x) V BODĚ x0 směrnice tečny t směrnice kTL sečny TL Derivace funkce f(x) v bodě x0 udává směrnici tečny t (kt) k funkci f(x) v bodě T[x0; f(x0)]. Rovnice tečny t: y – f(x0) = f'(x0) (x – x0).

PŘIPOMENUTÍ 2 – směrnice přímky, směrnicový tvar rovnice přímky – SMĚRNICE k PŘÍMKY p – SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY p Přímky rovnoběžné s osou y nemají definovanou směrnici.

a je směrový úhel přímky), takové přímky jsou různoběžné s osou ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE jsou přímky, které zpřesňují sestrojení grafu funkce asymptoty bez směrnice jsou asymptoty, které nemají definovanou směrnici (k = tg a; je-li a = 90, potom tg a není definováno), takové přímky jsou rovnoběžné s osou y asymptoty se směrnicí jsou přímky určené rovnicí y = a x + b (a = tg a, kde a je směrový úhel přímky), takové přímky jsou různoběžné s osou y a protínají ji v bodě [0; b] asymptota bez směrnice asymptota se směrnicí k = tg 0 = 0

ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE grafu funkce f je přímka o rovnici x = a tehdy, když má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Příklad: Funkce f není definována v bodě x = 1. Funkce f má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 1.

DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f, jestliže . Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:

DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f, jestliže . Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:

DALŠÍ PŘÍKLADY ASYMPTOT SE SMĚRNICÍ grafu funkce f Přímka o rovnici y = a x + b je asymptotou se směrnicí grafu funkce f právě tehdy, když existují limity nebo

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Je dána funkce f. Určete: definiční obor funkce, průsečíky funkce s osami souřadnými, asymptoty funkce, monotónnost funkce a lokální extrémy. Narýsujte graf funkce. Funkce f má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 2, asymptota se směrnicí je určena rovnicí y = 3 x. Funkce f je rostoucí v intervalech (–; 1>, <3;+), klesající v intervalech <1; 2), (2;3>. V bodě 1 má funkce f ostré lokální maximum, f(1)=0. V bodě 3 má funkce f ostré lokální minimum, f(3)=12.

ÚLOHY K PROCVIČENÍ p1) p2) p3) p4) p5) p6) Je dána funkce f. Určete: definiční obor funkce, průsečíky funkce s osami souřadnými, asymptoty funkce, monotónnost funkce a lokální extrémy. Narýsujte graf funkce. p1) p2) p3) p4) p5) p6) MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 82, úloha 3.12. ISBN 80-7196-063-2. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.