Slovní úlohy řešené pomocí lineárních a kvadratických rovnic

Kvadratická rovnice v matematice označuje polynomiální rovnici druhého stupně, tzn. rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje (nejvýše) ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně: ax2 + bx + c = 0 Zde jsou a, b, c nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice (a se nazývá kvadratický koeficient, b je lineární koeficient, c je absolutní člen), x je neznámá. a je různé od nuly, neboť pro a=0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním tvaru, kde a=1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant D = b2 - 4ac Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant D = b2 - 4ac. Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy: D=0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení . Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru . D>0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení . Rovnici je možno zapsat ve tvaru a(x - x1)(x - x2) = 0. D<0, tehdy rovnice nemá v reálném oboru řešení. Jejím řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla . Rovnici je opět možné napsat ve tvaru a(x - x1)(x - x2) = 0, ovšem kořeny x1,2 jsou nyní komplexní čísla.

Lineární rovnice Termín lineární rovnice v matematice označuje polynomiální rovnici prvního stupně, tzn. rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze ve první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice (a se nazývá lineární koeficient, b je absolutní člen), x je neznámá. a je různé od nuly, neboť pro a=0 se jedná o triviální rovnici b = 0, která buď nemá řešení (pokud je číslo b nenulové), nebo jsou jejím řešením všechna reálná čísla (pokud je b nula).

Řešení rovnice Lineární rovnice se řeší prostým osamostatněním neznámé x: převedením b na opačnou stranu a vydělením rovnice číslem a. Řešením je tedy .

Příklady V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna o 1m kratší než přepona, druhá odvěsna je o 2m kratší než-li přepona. Určete délku všech stran trojúhelníku.

Výpočet X = 5 Pythagorova věta : a2 + b2= C2 Pomocné grafické znázornění (x-2)2 + (x-1)2 = x2 (x2-4x+4)+(x2-2x+1) = x2 2x2 -6x + 5 = x2 x2 -6x + 5 = 0 D=36-20 D=16 D=4 5 6 -+(4) = 2 1(nelze) X = 5 Strany jsou dlouhé A=3m B=4m C=5m.

Příklady Cena folie byla snížena o tolik procent kolik stál jeden její metr před snížením cen. O kolik procent byla cena snížena, jestli že po snížení se prodával 1m za 16kč?