Nerovnice v podílovém tvaru Název projektu: Moderní škola Nerovnice v podílovém tvaru Martin Krajíc   22.3.2013 matematika 1. ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Nejprve si tuto metodu rozebereme pro číselné výrazy: podíl dvou čísel (zapsaných ve tvaru zlomku) je větší než nula, jestliže jsou obě čísla kladná nebo obě záporná. podíl dvou čísel je větší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel kladný nebo čitatel nekladný a jmenovatel záporný (jmenovatel se nesmí rovnat nule) ˃ 0 ≥ 0

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání podíl dvou čísel (zapsaných ve tvaru zlomku) je menší než nula, jestliže je čitatel kladný a jmenovatel záporný nebo naopak. podíl dvou čísel je menší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel záporný nebo čitatel nekladný a jmenovatel kladný (jmenovatel se nesmí rovnat nule) ˂ 0 ≤ 0

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Stejně jako u čísel to platí i u proměnných. ˃ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˃ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˂ 0 ≥ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ˃ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ˂ 0 ˂ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˂ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˃ 0 ≤ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ˂ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ˃ 0 Poznámka: místo nebo budeme používat „v“, místo a zároveň použijeme „˄“

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Podíl dvou výrazů je menší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel záporný nebo čitatel nekladný a jmenovatel kladný. Př: Řešte nerovnici v R: ≤ 0 x – 5 ≥ 0 ˄ 2x + 6 ˂ 0 v x – 5 ≤ 0 ˄ 2x + 6 ˃ 0 x ≥ 5 ˄ x ˂ -3 x ≤ 5 ˄ x ˃ -3 x ɛ Ø x ɛ (-3, 5˃ x ɛ (-3, 5˃ Rozdělíme na dvě soustavy dvou nerovnic. Každou soustavu řešíme zvlášť. Výsledek je sjednocením dílčích výsledků.

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky Tato metoda se využívá většinou v případech, kdy máme součin a podíl více výrazů. Určíme podmínky: jmenovatel se nesmí rovnat nule. Nalezneme nulové body: jednotlivé výrazy položíme rovny nule. Vyznačíme nulové body na číselnou osu a rozdělíme si ji na dílčí intervaly. Vytvoříme tabulku, ve které v prvním řádku jsou intervaly a čísla na rozhraní intervalů a v prvním sloupci jednotlivé výrazy. Doplníme tabulku: vezmeme libovolné číslo z prvního intervalu a dosadíme ho za x do jednotlivých výrazů. Do tabulky píšeme, zda nám vyšlo kladné nebo záporné číslo. Takto postupujeme u všech intervalů. Na závěr provedeme součin a podíl jednotlivých sloupců. Podle zadání zapíšeme výsledné intervaly. Pokud je v zadání, že má být součin výrazů kladný, bereme kladné výsledky a naopak.

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky Př: Řešte nerovnici v R: ≤ 0 nulové body: x – 2 = 0 3x + 9 = 0 x – 8 = 0 x = 2 x = -3 x = 8 číselná osa: (-∞, -3) (-3, 2) (2, 8) (8, ∞) -3 2 8

Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky tabulka: výsledek: v zadání máme dáno, že součin a podíl má být menší nebo roven nule. Proto výsledkem je sjednocení intervalů, které jsou záporné nebo rovny nule. x ɛ (-∞, -3˃ U ˂2, 8) (-∞, -3) -3 (-3, 2) 2 (2, 8) 8 (8, ∞) (x – 2) - + (3x + 9) (x – 8) součin a podíl X jmenovatel nesmí být nula, proto to v tomto sloupci nemá řešení

Nerovnice v součinovém tvaru – příklady Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): 1) ≤ 0 a) Z = (-∞, -5) U (6, ∞) b) N = ˂-9, 2) 2) ˃ 0 a) U = (-11, -3) U (7, ∞) b) A = (-3, 7) 3) ≤ 0 a) L = (-5, -1˃ U ˂0, 10) b) S = (-1, 0) Lech Przeczek: „Údělem …. je tiše závidět vyšším číslům.“

Nerovnice v součinovém tvaru – správné řešení Lech Przeczek: „Údělem ………. je tiše závidět vyšším číslům.“ NUL

Nerovnice v součinovém tvaru – použité zdroje OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-03-22]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/lech-przeczek