Fraktálová komprese obrazu Kateřina Bambušková (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Na úvod Historie Fraktály IFS Aplikace Vlastnosti Shrnutí (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Historie Fraktálová komprese je zhruba stejně stará jako standard JPEG V roce 1987 Michael Barnsley zveřejnil své výsledky dosažené implementací metody fraktálové komprese obrazu, které byly velmi zajímavé, ale ne příliš efektivní. neuvěřitelná časová náročnost masivní výpočetní výkon nutnost přítomnosti člověka (teorém graduovaného studenta) (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Princip komprese snížení redundance (nadbytečnosti) v datech. neztrátové metody – hledají delší sekvence stejných prvků, nebo redukují informace pro popis frekventovaných prvků. JPEG vidí zbytečnou informaci ve funkcích vysokých frekvencí, algoritmus pracuje v blocích (vztahy mezi nejbližšími pixely). Fraktálová komprese je založena na soběpodobnosti, pracuje se s různě velkými bloky, třeba i na opačných stranách obrázku. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

Fraktály a fraktání geometrie Fraktálová komprese se zakládá na fraktálech, a ty jsou definovány matematickým oborem fraktální geometrie. Benoît Mandelbrot zavedl slovo fraktál (z lat. fractus = zlomit) Fraktály byly v podstatě známé už v Antickém Řecku, ale pokusy o jejich matematický popis se objevily až během první světové války. Mandelbrot se pokoušel tyto množiny sjednotit v jeden komplexní celek. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

Mandelbrotova množina (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Fraktální geometrie Útvary fraktální geometrie - fraktály, se často velice přibližují přírodním objektům a tím se liší od klasické Euklidovské geometrie. V Euklidovské geometrii má každý útvar tzv. topologickou dimenzi. Nezáporné celé číslo. Fraktální geometrie zavádí ještě dimenzi fraktální, kde hodnota může být i iracionální číslo!!! (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Fraktální geometrie Fraktál je nekonečně složitý, ačkoliv jeho popis je konečný (většinou rovnice nebo soustava rovnic či transformační matice). Často je tento popis docela jednoduchý - Mandelbrotova množina je definována krátkou rovnicí o třech neznámých. Složitost vyplívá ze soběpodobnosti, což je způsob, jakým se přírodě daří vytvářet fascinující útvary jako stromy a kapradiny. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

Systémy iterovaných funkcí Schopnost fraktální geometrie dobře popsat přírodní útvary inspirovala Barnsleyho ke zpracování digitálního obrazu. Pro složité obrazce najít nějakým algoritmem jednoduchý popis, tento inverzní problém je však dodnes nevyřešen. Nabízí se však částečná řešení, která lze realizovat i na běžném PC. Fraktály lze na PC generovat několika způsoby, z nichž nejvýznamnější pro kompresi obrazu jsou IFS (Iterated Function Systems - systémy iterovaných funkcí). (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava IFS IFS je soubor parametrů, které definují afinní (lineární) transformace a jejich množina pak určuje výsledný fraktál. Na obrázcích je 6 iterací při konstruování fraktálu "Sierpinského trojúhelníku". Tento fraktál je popsán, 3-mi transformacemi. Celý obrázek se zmenší na poloviční velikost a jeho 3 kopie se umístí do pyramidy, tak jak je to ve druhé iteraci. Tentýž postup se aplikuje opakovaně. V praxi by se opakoval tak dlouho, až by byly trojúhelníčky tak malé, že by je reprezentovaly smotné pixely. Potom už nemá smysl provádět další iterace, protože se obrázek nemění. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

IFS Může být použit jakýkoliv útvar Tento příklad dokazuje, že aplikací stejných pravidel se dostáváme ke stejnému atraktoru, ačkoliv vstupní obrázek je libovolný. V obou příkladech by byly zapotřebí ještě tak dvě nebo tři iterace, abychom se dostali na obvyklé rozlišení obrazovky. Obrázky by byly z tohoto hlediska shodné. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Popis IFS Pro každý bod při aplikaci afinní transformace platí tato rovnice: Takto vypadá IFS ve zjednodušené formě (pro černobílé obrázky). Můžeme se pokusit o fraktálovou kompresi obrázku "Sierpinského trojúhelník", tedy naopak se zadaným obrázkem zjistit IFS. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Aplikace na obrázky Fraktál Sierpinského trojúhelník se konstruuje pomocí tří transformací: (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Aplikace Když generujeme fraktál iterativním postupem, aplikujeme transformaci W na obrázek f. U fraktálové dekomprese obrázku se transformace provádí z větších bloků do menších - říkáme že větší bloky mapujeme do menších. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Příklad Větší bloky se mohou překrývat, menší nikoliv. Pro každý menší blok se hledá co možná nejpodobnější větší blok (aby se zajistila kontraktivita). Takové nálezy soběpodobnosti mohou vypadat následovně: (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Vlastnosti Stejně jako při generování fraktálů můžeme použít opravdu jakýkoliv vstupní obrázek a na ten aplikovat iterace. Výstupní kvalita obrázku závisí především na míře podobnosti mezi malými a velkými bloky. Tím, že se kompresní metoda zakládá na fraktálech, dědí zakódované obrázky taky zajímavou vlastnost - nezávislost na rozlišení; tedy lze je dekódovat na libovolném rozlišení bez ztráty detailu. Fraktálové obrázky mají stejně daleko od rastrové i vektorové grafiky, zavádí tedy úplně nové odvětví PC grafiky s mnoha praktickými aplikacemi. (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

Shrnutí Komprese obrazu pomocí IFS je výpočetně náročný úkol, naopak dekódování je velmi rychlé. Jde tedy o silně asymetrický proces a zároveň výsledkem komprese je nejistá kvalita obrazu. Nejspíš proto se tato kompresní metoda příliš nerozšířila. Metodou fraktálové komprese je vhodnější kódovat spíše přírodní scenérie. Čerpáno z http://www.pcsvet.cz/ (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava

(c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava Na závěr Prostor k diskusi (c) 2005 Kateřina Bambušková, VŠB-TU Ostrava