Fuzzy logika, fuzzy množiny

Motivace Řada pojmů v běžném jazyce je vágních (vysoký člověk, drahý výrobek, muslimská země) Vágnost pojmu je něco jiného, než neznámá hodnota pojmu Fuzzy přístup je něco jiného než statistika (aspoň trochu)

Ostré množiny Definuji pomocí Výčtu prvků Charakteristické vlastnosti Charakteristické funkce mA(x) = 0, prvek x není v množině mA(x) = 1, prvek x je v množině A

Fuzzy množiny Charakteristická funkce Příklad „člověk je vysoký“ mA(x) je hodnota z intervalu <0,1> Příklad „člověk je vysoký“ mA(x) = 0 pro x menší než 170cm mA(x) = (x-170cm)/20cm pro x mezi 170cm a 190cm mA(x) = 1 pro x větší než 190cm

Další pojmy Obor pravdivostních hodnot (Range) Výška (height), suprémum Range Úplná fuzzy množina, má výšku 1 Nosič (support), všechny prvky univerza, které „mohou“ být v fuzzy množině Jádro (core), všechny prvky univerza, které „určitě jsou“ v fuzzy množině

Fuzzy logika Standardně výrok V má pravdivostní hodnotu z množiny {0,1} Fuzzy výrok V má pravdivostní hodnotu z intervalu <0,1>

Fuzzy negace Jakákoliv funkce n(V), která má vlastnosti Pokud p(A) <= p(B), pak p(n(B)) <= p(n(A)) p(n(n(A)) = p(A) Například standardní fuzzy negace p(n(A)) = 1-p(A) Další negace mohu dostat pomocí „generátoru“, rostoucí bijekce na <0,1>

Fuzzy doplněk množiny Pomocí fuzzy negace

Fuzzy konjunkce Jakákoliv operace &, která splňuje vlastnosti p(A & B) = p(B & A) p(A & (B & C)) = p ((A & B) & C) Pokud p(B) <= p(C), pak p(A & B) <= p(A & C) p(A & 1) = p(A) Například standardní konjunkce p(A&B) = min (p(A),p(B)) Součinová konjunkce p(A&B) = p(A)*p(B) Drastická (slabá) konjunkce p(A&B) = p(A), pokud p(B)=1 p(A&B) = p(B), pokud p(A)=1 p(A&B) = 0, jinak

Fuzzy průnik množin mA∩B(X) = mA(X) & mB(X) Různé typy fuzzy průniků

Fuzzy disjunkce Jakákoliv operace v, která splňuje Komutativitu Asociativitu Monotonii Okrajovou podmínku A v 0 = A

Příklady fuzzy disjunkcí Standardní A v B = max (A,B) Součinová A v B = A + B – AB Drastická A v B = A pro B = 0 A v B = B pro A = 0 A v B = 1 jinak

Fuzzy sjednocení mA sj B(X) = mA(X) v mB(X)

Fuzzy inkluze Klasický přístup Fuzzy přístup A je podmnožina B, pokud pro každé x, které je prvkem A platí, že je prvkem B Fuzzy přístup A je fuzzy podmnožina B, pokud pro každé x z nosiče A platí mA(x) <= mB(x).

Fuzzy interval Fuzzy podmnožina I množiny reálných čísel Nosič je omezená množina Pro každou hladinu alfa tvoří množina všech hodnot s příslušností k I alespoň alfa uzavřený interval. Hladina alfa = 1 je neprázdná Pokud je navíc hladina alfa jednoodová, nazýváme to fuzzy číslo