POČET PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodný pokus – opakovaná realizace při daném souboru podmínek dává různé výsledky Náhodný jev - výsledek realizace náhodného pokusu Příklady: Hod kostkou  padne číslo 6 Výběr karty  karta je eso Zhotovení výrobku  výrobek vadný 24 hodin provozu linky  nastane právě jedna porucha Elementární náhodné jevy – nejjednodušší výsledky náhodného pokusu (nerozložitelné) Náhodný jev A – podmnožina množiny E všech možných výsledků pokusu

Příklad: při hodu kostkou má náhodný pokus 6 možných výsledků a Potom náhodné jevy A (padne sudé číslo) a B (padne číslo větší než 4) lze zapsat

OPERACE S NÁHODNÝMI JEVY Jev A je částí jevu B, jestliže při každém výskytu jevu A nastává i jev B. Příklad: Jistý jev V nastane při každé realizaci náhodného pokusu Příklad: Nemožný jev v daném náhodném pokusu nenastane nikdy Příklad

Průnik jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, Sjednocení jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A,B Příklad Průnik jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastanou-li jevy A,B současně. Opačný (komplementární) jev k jevu A je jev, který nastane právě tehdy, nenastane-li jev A.

KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI (Laplace) Může-li dojít v náhodném pokusu k n stejně možným výsledkům, z nichž m má za následek výskyt jevu A a zbylých n-m jej vylučuje, pak pravděpodobnost jevu A bude Příklad: V souboru 50 studentů je 6 dojíždějících do školy z oblastí mimo Prahu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybereme mimopražského studenta? mezi 5 vybranými studenty (výběr bez vracení) budou právě 2 mimopražstí?

STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI (von Mises) Opakujeme-li n - krát nezávisle náhodný pokus a nastane-li jev A m - krát, je jeho relativní četnost m/n. Jestliže při rostoucím počtu opakování pokusu kumulativní relativní četnost kolísá stále v užších mezích kolem určitého čísla, nazveme toto číslo pravděpodobností jevu A.

AXIOMATICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI (Kolmogorov) A1: Každému jevu A je přiřazena hodnota P(A), která se nazývá pravděpodobnost jevu A A2: Pro pravděpodobnost jistého jevu V platí A3: Pro neslučitelné jevy A, B platí

PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST pravděpodobnost výskytu jevu A za předpokladu, že nastal jev B Pro nezávislé jevy A, B platí

PRAVDĚPODOBNOST PRŮNIKU JEVŮ A, B (pravidlo o násobení pravděpodobností) Pro libovolné jevy A, B platí Pro nezávislé jevy A, B platí

Příklad: A = 1.vytažená karta eso,B = 2.vytažená karta eso Jaká je pravděpodobnost vytažení 2 es po sobě při výběru s vracením a bez vracení ? výběr s vracením: P(A)=P(B)=4/32 výběr bez vracení: P(A)=4/32, P(B/A)=3/31

PRAVDĚPODOBNOST SJEDNOCENÍ JEVŮ A, B (pravidlo o sčítání pravděpodobností Pro libovolné jevy A, B platí Pro nezávislé jevy A, B platí Pro neslučitelné jevy A, B platí Pro opačné jevy platí

Příklad: Banka má 2 nezávislé poplašné systémy s účinnostmi 90% a 80%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden ohlásí mimořádnou událost ? A: 1.systém ohlásí P(A)=0,9 B: 2.systém ohlásí P(B)=0,8 nebo

Úplná pravděpodobnost Situace, kdy jev A může nastat jen ve spojení s některým z jevů Bi, které tvoří úplný systém neslučitelných jevů   Pak platí Úplná pravděpodobnost jevu A je rovna součtu součinů pravděpodobností jevů Bi a podmíněných pravděpodobností jevu A vzhledem k jevům Bi .

P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto P(Bi ) .... pravděpodobnosti a priori (jsou známy před provedením pokusu) Po provedení pokusu můžeme stanovit pravděpodobnost, že jev A nastal ve spojení s jevem Bi P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto pravděpodobnost vyjadřuje Bayesova věta

a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný. Příklad: Výrobek je vyráběn na dvou zařízeních. Modernější zajišťuje 70 % produkce a mezi jeho výrobky je 5 % vadných. Starší zařízení vyrábí zbytek produkce a vadných je 15 %. a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný. A ... vadný výr. P(Bm ) = 0,7 P(A/Bm ) = 0,05 P(Bs ) = 0,3 P(A/Bs ) = 0,15 P(A) = P(Bi ) . P(A/Bi ) = P(Bm ).P(A/Bm)+P(Bs ). P(A/Bs )= = 0,7 .0,05 + 0,3 . 0,15 = 0,08

b) byl-li vybrán zmetek, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben na moderním stroji.