Pre-algebra Antonín Jančařík

Operace v matematice Operace (matematika) - zobrazení z kartézské mocniny množiny do této množiny Známé operace: Součet Rozdíl Podíl Sínus Odmocnina

Zápis operace tabulkou

Základní vlastnosti binárních operací Komutativita Asociativita Neutrální prvek Inverzní prvek a mnoho dalších.

Asociativita Asociativita je velice důležitou vlastností. Špatně se ověřuje. Skládání zobrazení je vždy asociativní.

Grupoid Neprázdná množina G opatřená binární operací se nazývá grupoid. Od grupoidu tedy nic nežádáme. Příkladem grupoidu tak může být jakákoli tabulka.

Grupoid Ukázka neasociativního a nekomutativního grupoidu: +| 0 1 2 3 0 | 0 0 1 0 1 | 2 0 0 0 2 | 0 0 0 0 3 | 0 0 0 0 Trojice 0,1,0

Pologrupa Neprázdná množina G opatřená binární asociativní operací se nazývá pologrupa. Ukázka nekomutativní pologrupy: +| 0 1 2 3 0 | 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1 2 | 0 0 0 0 3 | 0 0 0 0

Monoid Neprázdná množina G opatřená binární asociativní operací a jednotkovým prvkem se nazývá monoid. Ukázka nekomutativního monoidu: + | 0 1 2 3 0 | 0 1 2 3 1 | 1 0 2 3 2 | 2 3 2 3 3 | 3 2 2 3

Krácení Nechť (G, ۞) je grupoid a a jeho prvek. Říkáme, že a je zleva (resp. zprava) kratitelný prvek grupoidu G, jestliže a ۞ b ≠ a ۞ c (resp. b ۞ a ≠ c ۞ a), kdykoli b ≠ c. Jestliže a je kratitelný zleva i zprava, říkáme že je kratitelný.

Kvazigrupa Jestliže každý prvek grupoidu G je kratitelný, říkáme, že G je grupoid s krácením. Grupoid s krácením nazýváme kvazigrupou.

Ukázka kvazigrupy Neasociativní, nekomutativní kvazigrupa: +| 0 1 2 3 0 | 0 1 3 2 1 | 2 0 1 3 2 | 1 3 2 0 3 | 3 2 0 1

Lupa Kvazigrupu s jednotkovým prvkem nazýváme lupou: +| 0 1 2 3 4 0 | 1 2 0 4 3 1 | 3 4 1 0 2 2 | 0 1 2 3 4 3 | 4 0 3 2 1 4 | 2 3 4 1 0

Grupa Grupa je algebraická struktura s jednou binární operací, která je asociativní, s jednotkovým prvkem a inverzními prvky. Komutativní grupa se také nazývá abelovou.

Příklady grup Celá čísla se sčítáním Racionální čísla se sčítáním Reálná čísla se sčítáním Komplexní čísla se sčítáním Racionální čísla bez nuly s násobením Reálná čísla bez nuly s násobením Komplexní čísla bez nuly s násobením

Další příklady grup Symetrie čtverce Symetrie pravidelných n-úhelníků Permutace na množině a jejich skládání Polynomy a sčítání Funkce a jejich sčítání Nekonečné posloupnosti a jejich sčítání

Podgrupa H je podgrupa grupy G, právě když H je neprázdná podmnožina G a je uzavřená na operaci * To znamená, že pokud a, b ∈ H, pak a*b ∈ H) a na inverze (tzn. jestliže a ∈ H, pak a−1 ∈ H) Uzavřenost je někdy přidávána i do vlastností grupy. V algebře je dána tím, že operace je definována na množině. V praxi musíme ověřovat i tuto vlastnost.

Normální podgrupa Normální podgrupa P grupy G je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí: Tato podmínka je často formulována jako:

Příklady normálních podgrup Každá podgrupa komutativní grupy je normální. Jádro homomorfismu. Centrum grupy. Komutátor grupy.

Generátor grupy Mějme grupu (G,o) a její podmnožinu A. Potom A generuje G právě tehdy když každý prvek z G lze vyjádřit jako součin prvků z A.                                                    .

Cyklická grupa Grupa generovaná jednoprvkovou množinou (jediným prvkem) se nazývá cyklická grupa.

Struktury se dvěma operacemi V rámci příkladů grup jsem se již seznámili s množinami, na nichž je definována více než jedna binární operace. Racionální, reálná, komplexní čísla. Polynomy. Aby bylo možné takové struktury zkoumat, je velice vhodné, aby spolu tyto operace nějak souvisely.

Distributivita Nechť T je množina se dvěma binárními relacemi sčítáním a násobením Potom tyto operace na T splňují distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, právě tehdy když pro každé a,b,c platí: a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca Distributivita je vlastně roznásobování závorek.

Okruh Množinu R a se dvěma binárními operacemi + (sčítání) a * (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro každé x,y,z z R následující axiomy: Komutativita sčítání: x + y = y + x Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), Existence oboustranně neutrálních prvků pro sčítání i násobení: existují prvky takové, že pro každé platí x + 0 = 0 + x = x, Existence inverzních prvků pro sčítání: pro každé existuje tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = − x A distributivita.

Obor integrity Obor integrity (angl. integral domain) je komutativní okruh R s jednotkovým prvkem, pro který navíc platí axiom Oborem integrity je tedy každý komutativní okruh s jednotkovým prvkem, ve kterém nejsou netriviální dělitele nuly.

Těleso Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Definice tělesa Množinu F a se dvěma binárními operacemi + (sčítání) a * (násobení) na F nazýváme tělesem, pokud platí: (F,+) tvoří abelovu grupu. (F/0,*) tvoří grupu.

Příklady těles Množina racionálních čísel Q Množina reálných čísel R a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel C. Kvaterniony, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel. Množina zbytkových tříd Zp pro každé prvočíslo p.

Konečná tělesa Konečná tělesa jsou vždy komutativní.