1. Derivace Derivace je míra rychlosti změny funkce. Čím větší je hodnota derivace, tím větší jsou změny funkce. Z hlediska grafu funkce ovlivňuje velikost změn pro x v daném intervalu jeho strmost – čím je graf strmější, tím jsou změny větší. x y 1 2 x y 1 2 změna funkce, když se proměnná změní o jednotku

Strmost grafu v daném bodě se měří sklonem (tedy strmostí) tečny v tom bodě. Sklon tečny určuje úhel, který tečna svírá s osou x, nebo také tangenta tohoto úhlu, což je jen jiná míra sklonu, a to je směrnice tečny. Směrnice tečny v daném bodě (je to číslo) se tedy používá jako míra sklonu grafu v daném bodě a a slouží k predikci chování funkce (růstu a klesání) kolem tohoto bodu. A toto číslo je právě derivace funkce v tom bodě. x y 1 2 x y 1 2

Jak vypočítáme nyní směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě a? Sestrojíme sečnu s, která prochází body (a, f(a)) a (x, f(x)), x je libovolný bod blízko bodu a. Její směrnice je Nyní když se bod x bude blížit bodu a stane se ze sečny s tečna t v bodě a, t a její směrnice bude x y f(a) a f(x) s

Tedy: D: Bod a je bod z definičního oboru funkce f(x). Derivace funkce f(x) v bodě a (označuje se f´(a)) je limita (pokud existuje) Limita je vždy neurčitý výraz typu . Kvůli fyzice a dalším aplikovaným předmětům je nutné si vzorec z definice pamatovat. Protože to je limita, má všechny vlastnosti limity – zavádí se derivace zprava a zleva, derivace vlastní (konečná) a nevlastní (nekonečná). t tečna, rovnoběžná s osou y

Že má funkce v nějakém bodě derivaci poznáme podle toho, že její graf má v tom bodě tečnu. V.: Má-li funkce v bodě a vlastní derivaci, je tam spojitá. Naopak to neplatí, funkce může být v některém bodě spojitá a nemít tam derivaci – například tam, kde jsou na grafu hroty nebo zlomy... Tam jsou derivace zprava a zleva různé. nespojitá… neexistuje tečna

Ve fyzice apod. se derivace místo f´ označuje . Tento zápis zdůrazňuje, že proměnná, podle které se derivuje, je x. Znamená to ale totéž! Derivaci lze vždy vypočítat z definice: 1) Konstantní funkce f(x)=k se vůbec nemění – musí mít derivaci nula. Vypočtěmě ji v libovolném bodě a.

2) Víme že funkce f(x)=x je přímka, která svírá s osou x úhel 45°, její směrnice je 1. Vypočtěme z definice derivaci v bodě třeba a =2. Derivace nezáleží na bodu a, je vždy 1, protože přímka má stále stejný sklon. 3) Vezměme nyní funkci . Její graf je parabola, sklon se mění v každém bodě. Vypočtěme zase derivaci v bodě a =2. Tentokrát hodnota limity závisí na bodu a=2.

Vezměme nakonec funkci a vypočtěme její derivaci v libovolném bodě a, její graf je hyperbola, sklon je v každém bodě jiný, musí nám vyjít nějaká funkce toho a. Protože víme, že na jménu proměnné nezávisí, použijeme tedy k jejímu označení běžné x a máme vzoreček Podobně, většinou ale značně komplikovaněji, by se odvodily vzorce pro derivace všech elementárních funkcí, které následují a musí se znát na 100 %!!!!

Vzorce pro derivace elementárních funkcí. Tedy:

speciálně Tedy:

speciálně Tedy:

Pravidla pro derivování 1) Derivace násobku. Je-li k konstanta, je (k.f(x))’=k.f(x)’. Př.:

2) Derivace součtu nebo rozdílu. Je Př.: Platí pro libovolný počet sčítanců.

Derivace součinu. Je Př.:

4) Derivace podílu. Je Př.:

5) Derivace složené funkce. Je Derivace vnější funkce se násobí derivací vnitřní funkce, ale musí se zachovat argumenty… Př.: Funkce je složená takto: Př.: Funkce je složená takto:

Pro tři funkce má vzorec tento tvar: Musí se vždy derivovat všechny funkce, ale je třeba zachovat jejich argumenty!! Př.: Funkce je složená takto:

Podobně: Z tohoto hlediska je třeba se dívat na vzorce pro derivace elementárních funkcí takto, např.: Když A je jen x, je A´=1. Jinak je to derivace argumentu A. Podobně:

Kombinované příklady:

Derivace vyšších řádů Derivace funkce je zase funkce, Je možné ji tedy derivovat znova, tak vznikají derivace vyšších řádů: 2. řádu: 3. řádu: obecně n. řádu:

Příklady: 1) 2) 3)

Význam derivací ve fyzice a v aplikovaných vědách Uvažujme pohyb bodu po dráze s, jejíž závislost na čase je dána vztahem s=s(t). t a x Představme si, že pohyb začneme pozorovat v časovém okamžiku t=a a skončíme s pozorováním v čase t=x. Za dobu x-a urazí bod dráhu s(x)-s(a), přitom se pohyboval průměrnou rychlostí Průměrná rychlost má málo společného se skutečnou rychlostí v bodě a, zvláště bude-li doba x-a dlouhá. Bude-li tato doba ale krátká, nebo dokonce velmi krátká, bude již průměrná rychlost za tuto krátkou dobu již něco o rychlosti v bodě a vypovídat. Je jasné, že když se bude doba x-a blížit k nule, bude průměrná rychlost za tuto dobu čím dál tím bližší okamžité rychlosti v bodě a.

Teoreticky vzato je tedy okamžitá rychlost v bodě a vzpomeneme-li si na definici derivace. Podobně i při popisu libovolného procesu derivace jeho funkčního předpisu podle času je okamžitá rychlost průběhu tohoto procesu. Př.: Těleso padá volným pádem z výšky 100 metrů. Jaká je jeho rychlost, padá-li 3 vteřiny? Dráhu volného pádu popisuje známý vzorec Rychlost volného pádu v libovolném čase t je podle předchozích úvah V čase t=3 sec. (volíme-li g=10 m/s ) je tedy v(3)=30 m/s.