Odhad vnitřní struktury ledového měsíce z gravitačního potenciálu Vyjádření potenciálu ve tvaru rozvoje do harmonických funkcí Geoid = ekvipotenciální plocha odpovídající střednímu poloměru Výška geoidu (Brunsův teorém): h = V/g 0

Vztah variací potenciálu a hustotních anomálií

MARS Geoid Topografie

ZEMĚ Geoid Topografie

TITAN podle Zebker et al., Science 2010 Topografie Iess et al., Science 2009 Geoid do stupně 4

Výpočet složek tenzoru setrvačnosti z koeficientů stupně 2 rozvoje gravitačního potenciálu Gravitační potenciál ve tvaru řady: Složky tenzoru setrvačnosti

x y z θ φ Kartézské souřadnice Přidružené Legendreovy funkce na stupni 2

Vyjádření Legendreových funkcí v kartézských souřadnicích kde jsme použili

Složky tenzoru setrvačnost I xy, I xz a I yz jsou zcela určeny koeficienty S 22, C 21 a S 21. Pro složky I xx, I yy a I zz však máme pouze dvě rovnice ( C 20, C 22 ) a nejsme schopni je tedy jednoznačně určit. Výrazy pro Legendreovy funkce dosadíme do vztahu pro C 20, C 21, C 22, S 21, S 22 a srovnáme se vztahy pro složky tenzoru setrvačnosti,

Abychom mohli říci něco o tom, nakolik je těleso diferencované, musíme znát stopu tenzoru setrvačnosti, tj. Chybějící podmínku potřebnou pro určení všech tří stopových složek nám poskytuje Darwinova-Radauova rovnice, která propojuje geometrické zploštění a složku tenzoru setrvačnosti I zz. Tato rovnice však platí pouze pro těleso v hydrostatické rovnováze mající tvar rotačního elipsoidu. Darwinova-Radauova rovnice a … rovníkový poloměr, ε … geometrické zploštění, q … geodynamická konstanta

Jiné formy Darwin-Radauovy rovnice: D.-R. rovnice je speciální případ obecné rovnice pro těleso v hydrostatické Rovnováze ve tvaru trojosého elipsoidu. Podrobněji viz např. Murray-Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge Univ. Press, Zaveďme faktor setrvačnosti (inertia factor) Tvar D.-R. rovnice pro poměr dynamického a geometrického zploštění:

C 20 /  ≡ J 2 /  I zz / Ma Darwin-Radau ( I xx / I yy → 1) limita pro I xx / I yy → 0 homogenní koule Země Jupiter Neptun Saturn, Uran

C 20 /  ≡ J 2 /  I zz / Ma Darwin-Radau ( I xx / I yy → 1) limita pro I xx / I yy → 0 homogenní koule Země Jupiter Neptun Saturn, Uran Titan Enceladus

C 20 /  ≡ J 2 /  I zz / Ma Darwin-Radau ( I xx / I yy → 1) limita pro I xx / I yy → 0 homogenní koule Země Jupiter Neptun Saturn, Uran Titan Enceladus Jsou malá tělesa v hydrostatické rovnováze?

C 20 /  ≡ J 2 /  I zz / Ma Darwin-Radau ( I xx / I yy → 1) limita pro I xx / I yy → 0 homogenní koule Země Jupiter Neptun Saturn, Uran Titan Enceladus Jsou malá tělesa v hydrostatické rovnováze? Izostaticky kompenzová topografie Chyba v určení 

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu t → ∞ Relaxace kráterů:

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu t → ∞ předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie Relaxace kráterů:

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu t → ∞ předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie řešení závisí na viskozitě prostředí, a tedy na teplotě v minulosti hloubková citlivost je dána průměrem kráteru Problémy: neznáme stáří kráterů původní tvar kráteru nejistý (malé krátery h:d = 1:5, velké krátery ?) tvar kráteru závisí na hustotě a vlastnostech materiálu, gravitačním zrychhlení aj. reologický popis planární vs. sférická geometrie Relaxace kráterů:

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu t → ∞ předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie řešení závisí na viskozitě prostředí, a tedy na teplotě v minulosti hloubková citlivost je dána průměrem kráteru Problémy: neznáme stáří kráterů původní tvar kráteru nejistý (malé krátery h:d = 1:5, velké krátery ?) tvar kráteru závisí na hustotě a vlastnostech materiálu, gravitačním zrychhlení aj. reologický popis planární vs. sférická geometrie Relaxace kráterů: jedná se spíše o relativní ukazatel

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Potřebujeme znát: 1)hustotu kráterů (počet kráterů s průměrem větším než d na km 2 ) 2)cratering chronology, tj. funkci, která specifikuje počet kráterů na povrchu jako funkci času (stáří) Neukum lunar chronology cometary chronology Nice model (Marchi et al., Astron. J., 2009) Stáří povrchu některým měsíců podle Kometární chronologie (d ≥ 5 km) Neukumova modelu (Neukum et al., 2006): (Zahnle et al., 2003) Iapetus Gyr Dione 3.8 (Evander) Gyr Gyr (B) – 4.56 (A) Tethys 3.8 (Odysseus) Gyr 1.66 (B) – 4.66 (A) Enceladus 4 Myr (Tiger stripes) – 4.1 Gyr Mimas 0.75 (B) – 4.39 (A) Rhea 3.05 (B) – 4.56 (A)

Statistiky kráterů Relative plot (R-plot) Mimas (396 km) Tethys (1066 km) Dione (1123 km) Rhea (1529 km) Iapetus (1471 km) Počet kráterů d > 300 km Počet kráterů d > 100 km Predikce (Zahnle et al., 2003) Dones et al., In Saturm from Cassini, Springer 2009

Dones et al., In Saturm from Cassini, Springer 2009