3. Přednáška posloupnosti BRVKA Fibonacci (1170 – 1250)

Horní a dolní mez Pro neprázdnou množinu M definujeme: BRVKA Horní a dolní mez Pro neprázdnou množinu M definujeme: Horní mez H množiny M, pokud pro Dolní mez d množiny M, pokud pro Horní mez Dolní mez Jestliže je nějaké číslo horní mezí H množiny, tak potom každé větší číslo je také horní mezí této množiny. Pro dolní mez platí totéž: každé číslo menší než dolní mez d je také dolní mez dané množiny.

Omezenost Definice: Množina M se nazývá: BRVKA Omezenost Definice: Množina M se nazývá: Shora omezená, pokud má horní mez H Zdola omezená, pokud má dolní mez d Omezená, pokud má horní i dolní mez Např.: N je zdola omezená, d = 0, není shora omezená, není omezená Z není omezená ani zdola ani shora Interval (0,1) je omezený, d = 0, H = 1 (ale i např. 2 nebo 100) Věta: Množina, která má konečný počet prvků, je omezená. Mezi prvky této množiny najdeme ten nejmenší prvek – dolní mez potom bude buď tento prvek nebo kterýkoliv menší. Podobně najdeme největší prvek a zvolíme horní mez.

Supremum a infimum Definice: Nechť M je neprázdná množina BRVKA Supremum a infimum Definice: Nechť M je neprázdná množina Maximum množiny M (max M) je největší prvek M Minimum množiny M (min M) je nejmenší prvek M Supremum množiny M (sup M) je nejmenší horní mez M Infimum množiny M (inf M) je největší dolní mez M … pokud existují. Např.: M je polouzavřený interval max M = 2 min M neexistuje sup M = 2 inf M = –1 Vidíme, že pokud maximum existuje, je zároveň i supremem. Supremum a infimum existují v R* vždy. Maximum a minimum existovat nemusí.

Posloupnost - definice BRVKA Posloupnost - definice 1,3,5,7,9,…. 6,5,4,3,2,…. 1,1,2,3,5,8,…. 1,-1,1,-1,1,…. 4,7,10,13,16,…. 8,6,8,6,8,…. Definice: Jako posloupnost se označuje uspořádaná sekvence (fronta) čísel, indexovaná přirozenými čísly. Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje reálné číslo. Posloupnost značíme obvykle nebo Čteme „posloupnost á en přes en (jdoucí) od jedné do nekonečna“ – tzv. nekonečná posloupnost. Jsou i konečné posloupnosti – nejdou do nekonečna, ale mají přesný počet členů. Pozn.: slovo POSLOUPNOST zkracujeme při psaní na PLST.

BRVKA Členy Posloupnosti Čísla v posloupnosti se označují členy ai, kde i je index, který určuje pořadí v posloupnosti. Např.: a1 je první člen, a3 je třetí člen, an je n-tý („entý“) člen, an+1 je „en plus první člen“ Můžeme vytvořit graf posloupnosti, bude se skládat jen z bodů, které nepropojujeme, není to funkce. Násled(ov)ník Předchůdce an an a1 a4 an+1 an-1 a3 a2 1 2 3 4… 1 n – pořadí členu

Zadání posloupnosti Posloupnost můžeme zadat různými způsoby: BRVKA Zadání posloupnosti Posloupnost můžeme zadat různými způsoby: 1) Neúplným výčtem Hodí se, když si chceme udělat představu o tom, jak se daná posloupnost chová, bereme to jako pomocný zápis. 4,7,10,13,16,…. 2) Vzorcem pro n-tý člen Je to vzorec pro výpočet jednotlivých členů, stačí dosadit do vzorce za n a máme konkrétní člen an. Hodí se při výpočtech nejlépe ze všech typů zadání. 3) Rekurentně = zadání pomocí předchozího členu (nebo více členů). Nevýhoda je, že k určení členu musíme znát všechny předchozí. Např.: dvojnásobek předchozího zvětšený o 1.

Zadání vzorcem pro n-tý člen Funguje podobně jako funkční předpis pro funkce. Chceme-li konkrétní člen, dosazujeme do vzorce jeho pořadí Např.: Chceme pátý člen posloupnosti Lze i obecněji: Chceme n+1. člen posloupnosti Pozn.: Často se ve vzorci vyskytuje zápis typu: Pro sudá n je to +1, pro lichá –1. Zápis vyjadřuje střídání znamének, tzv. oscilující posloupnost.

Rekurentní zadání Pomocí předchozích členů. BRVKA Rekurentní zadání Pomocí předchozích členů. Je nutné zadat první člen a1 (nebo více) a „návod“ jak pomocí n-tého členu an určit jeho následovníka an+1 Např.: Posloupnost je zadána: Určete několik prvních členů: Posloupnost by potom byla: –3,7,–13,27,–53,… Posloupnost je zadána jako součet předchozích dvou členů: Tzv. Fibonacciho posloupnost.

Fibonacciho posloupnost BRVKA Fibonacciho posloupnost Množení králíků za idealizovaných podmínek: Jeden pár má každý měsíc další pár Králíci se množí od věku 2 měsíců Všichni přežívají 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Na začátku – 0. měsíc, celkem máme 1 pár 1 Po měsíci se ještě nemnoží, celkem máme 1 pár (ten původní) Po 2 měsících se narodí další pár, který se ještě nemnoží, celkem máme 2 páry (ten původní a potomky) 2 3 Po 3 měsících se původním narodí další pár, celkem máme 3 páry Po 4 měsících se původním narodí další a začínají se množit králíci č.2, kteří mezitím dospěli, celkem máme 5 párů. 4 5 6 7 8 Po 5 měsících se narodí další těm „zkušeným“ a nově i potomci od páru č.3, celkem máme 8 párů. 9 10 11 12 13 Po 6 měsících se narodí potomci i párům č.4 a 5 celkem máme 13 párů. ? Kolik jich bude po dalším měsíci?

Vlastnosti plstí - omezenost BRVKA Vlastnosti plstí - omezenost definovali jsme ji pro množiny čísel, pro posloupnosti je to stejné, to jsou to také množiny čísel (jenom jsou uspořádané). an an Horní mez H Dolní mez d SHORA OMEZENÁ ZDOLA OMEZENÁ an Horní mez H OMEZENÁ Dolní mez d

Vlastnosti plstí - monotonie BRVKA Vlastnosti plstí - monotonie Definujeme: Posloupnost je: an an Rostoucí Klesající an an Nerostoucí Neklesající

BRVKA Určování monotonie Plst je monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající. Jestliže je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní. Pozn.: Konstantní plst je také monotónní – protože je zároveň nerostoucí i neklesající. Při určování monotonie porovnáváme sousední členy. Porovnání ROZDÍLEM: Porovnání PODÍLEM: Plst je klesající.

vlastnosti posloupností BRVKA vlastnosti posloupností Zjistěte, zda jsou následující posloupnosti monotónní (rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí) a omezené.

Aritmetická a geometrická plst BRVKA Aritmetická a geometrická plst Aritmetická plst je taková, ve které je rozdíl každých dvou sousedních členů roven číslu d – diferenci. Geometrická plst je taková, ve které je podíl každých dvou sousedních členů roven číslu q – kvocientu. Rekurentní zadání pomocí předchůdce pomocí prvního členu Libovolný člen Součet prvních n členů

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.