Výroky, negace, logické spojky RNDr. Jiří Kocourek

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE) Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE) Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“ Příklady vět, které nejsou výroky: „Běž domů !“ „Bude zítra pršet?“ „Úsečka je dlouhá.“ „a2 + b2 = c2“

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí) Příklad: Výrok v: „Daný trojúhelník je ostroúhlý“ ¬ v: „Není pravda, že daný trojúhelník je ostroúhlý“ ¬ v: „Daný trojúhelník je tupoúhlý nebo pravoúhlý

Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“. 30 nebo více, Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30

Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“. 30 nebo více, Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30 Jejich negace: ¬a: „Ve třídě je méně než 30 žáků“ ... 29 nebo méně, ¬b: „Ve třídě je více než 30 žáků“ ... 31 nebo více, ¬c: „Ve třídě je méně než 30 žáků nebo více než 30 žáků“ ... nejvýše 29 nebo alespoň 31

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení "

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení " Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek dané množiny ..... označení $

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení " Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek dané množiny ..... označení $ Příklady: "xÎR: x2 > x „Pro každé x z množiny R platí ...“ $xÎR: x2 > x „Existuje alespoň jedno x z množiny R, pro které platí ...“

Příklad: Vyslovte negace výroků v: " xÎR: x2 > 0 w: $ nÎN: n £ 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: " xÎR: x2 > 0 w: $ nÎN: n £ 0 ¬ v: $ xÎR: x2 £ 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: " xÎR: x2 > 0 w: $ nÎN: n £ 0 ¬ v: $ xÎR: x2 £ 0 ¬ w: " nÎN: n > 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: " xÎR: x2 > 0 w: $ nÎN: n £ 0 ¬ v: $ xÎR: x2 £ 0 ¬ w: " nÎN: n > 0 Negace výroků s kvantifikátory: Kvantifikátor změníme na opačný a příslušný výrok nahradíme jeho negací.

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků

„jestliže ... pak“ (implikace) Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků „jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého

„jestliže ... pak“ (implikace) Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků „jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého „právě tehdy, když“ (ekvivalence) .... oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu

Konjunkce Označení: a Ù b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ù b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“

Konjunkce a b a Ù b Označení: a Ù b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ù b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Ù b 1

Konjunkce a b a Ù b Označení: a Ù b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ù b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Ù b 1 Konjunkce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky zároveň.

Disjunkce Označení: a Ú b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ú b : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“

Disjunkce a b a Ú b Označení: a Ú b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ú b : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Ú b 1

Disjunkce a b a Ú b Označení: a Ú b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Ú b : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Ú b 1 Disjunkce je pravdivá, platí-li alespoň jeden z výroků (tedy i v případě, že platí oba).

Implikace Označení: a Þ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þ b : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“

Implikace a b a Þ b Označení: a Þ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þ b : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Þ b 1

Implikace a b a Þ b Označení: a Þ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þ b : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Þ b 1 Implikace je nepravdivá, pouze v případě, že první výrok platí a druhý neplatí.

Ekvivalence Označení: a Û b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“

Ekvivalence a b a Û b Označení: a Û b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Û b 1

Ekvivalence a b a Û b Označení: a Û b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: a b a Û b 1 Ekvivalence je pravdivá, pokud oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu.

¬ (a Ù b) Negace složených výroků: Konjunkce „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

¬ (a Ù b) Negace složených výroků: Konjunkce „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“

¬ (a Ù b) ¬ a ¬ b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b Negace složených výroků: a b a Ù b Konjunkce ¬ (a Ù b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ù b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b 1

¬ (a Ù b) ¬ a ¬ b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b Negace složených výroků: a b a Ù b Konjunkce ¬ (a Ù b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ù b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b 1

¬ (a Ù b) ¬ a ¬ b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b Negace složených výroků: a b a Ù b Konjunkce ¬ (a Ù b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ù b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b 1

¬ (a Ù b) ¬ a ¬ b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b Negace složených výroků: a b a Ù b Konjunkce ¬ (a Ù b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ù b ¬(a Ù b) ¬a Ú ¬b 1 Výrok ¬(a Ù b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a Ú ¬b.

¬ (a Ú b) Negace složených výroků: Disjunkce „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

¬ (a Ú b) Negace složených výroků: Disjunkce „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“

¬ (a Ú b) ¬ a ¬ b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b Negace složených výroků: a b a Ú b Disjunkce ¬ (a Ú b) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ú b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b 1

¬ (a Ú b) ¬ a ¬ b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b Negace složených výroků: a b a Ú b Disjunkce ¬ (a Ú b) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ú b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b 1

¬ (a Ú b) ¬ a ¬ b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b Negace složených výroků: a b a Ú b Disjunkce ¬ (a Ú b) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ú b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b 1

¬ (a Ú b) ¬ a ¬ b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b Negace složených výroků: a b a Ú b Disjunkce ¬ (a Ú b) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“ a b ¬ a ¬ b a Ú b ¬(a Ú b) ¬a Ù ¬b 1 Výrok ¬(a Ú b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a Ù ¬b.

¬ (a Þ b) Negace složených výroků: Implikace „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

¬ (a Þ b) Negace složených výroků: Implikace „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“

¬ (a Þ b) ¬ a ¬ b ¬(a Þ b) Negace složených výroků: a b a Þ b a Ù ¬b Implikace ¬ (a Þ b) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“ a b ¬ a ¬ b a Þ b ¬(a Þ b) a Ù ¬b 1

¬ (a Þ b) ¬ a ¬ b ¬(a Þ b) Negace složených výroků: a b a Þ b a Ù ¬b Implikace ¬ (a Þ b) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“ a b ¬ a ¬ b a Þ b ¬(a Þ b) a Ù ¬b 1

¬ (a Þ b) ¬ a ¬ b ¬(a Þ b) Negace složených výroků: a b a Þ b a Ù ¬b Implikace ¬ (a Þ b) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“ a b ¬ a ¬ b a Þ b ¬(a Þ b) a Ù ¬b 1

Výrok ¬(a Þ b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a Ù ¬b. Negace složených výroků: Implikace ¬ (a Þ b) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“ a b ¬ a ¬ b a Þ b ¬(a Þ b) a Ù ¬b 1 Výrok ¬(a Þ b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a Ù ¬b.

¬ (a Û b) Negace složených výroků: Ekvivalence „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

¬ (a Û b) Negace složených výroků: Ekvivalence „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ „Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

¬ (a Û b) ¬ a ¬ b ¬(a Û b) ¬a Û b Negace složených výroků: a b a Û b Ekvivalence ¬ (a Û b) „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ „Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ a b ¬ a ¬ b a Û b ¬(a Û b) a Û ¬b ¬a Û b 1

¬ (a Û b) ¬ a ¬ b ¬(a Û b) ¬a Û b Negace složených výroků: a b a Û b Ekvivalence ¬ (a Û b) „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ „Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ a b ¬ a ¬ b a Û b ¬(a Û b) a Û ¬b ¬a Û b 1

¬ (a Û b) ¬ a ¬ b ¬(a Û b) ¬a Û b Negace složených výroků: a b a Û b Ekvivalence ¬ (a Û b) „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ „Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ a b ¬ a ¬ b a Û b ¬(a Û b) a Û ¬b ¬a Û b 1

¬ (a Û b) ¬ a ¬ b ¬(a Û b) ¬a Û b Negace složených výroků: a b a Û b Ekvivalence ¬ (a Û b) „Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ „Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“ a b ¬ a ¬ b a Û b ¬(a Û b) a Û ¬b ¬a Û b 1 Výrok ¬(a Û b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a Û ¬b i výrok ¬a Û b.

a Ù b a Ú b a Þ b a Ù ¬ b a Û b Výrok Jeho negace ¬ a Ú ¬ b ¬ a Ù ¬ b Negace složených výroků: Přehled: Výrok Jeho negace a Ù b ¬ a Ú ¬ b a Ú b ¬ a Ù ¬ b a Þ b a Ù ¬ b a Û b ¬ a Û b ; a Û ¬ b

¬ a ¬ b ¬ b Þ ¬ a Obrácená implikace, obměna implikace: a b a Þ b Implikace b Þ a se nazývá obrácená implikace k implikaci a Þ b Implikace ¬ b Þ ¬ a se nazývá obměna implikace a Þ b a b ¬ a ¬ b a Þ b b Þ a (obrácená) ¬ b Þ ¬ a (obměna) 1

¬ a ¬ b ¬ b Þ ¬ a Obrácená implikace, obměna implikace: a b a Þ b Implikace b Þ a se nazývá obrácená implikace k implikaci a Þ b Implikace ¬ b Þ ¬ a se nazývá obměna implikace a Þ b a b ¬ a ¬ b a Þ b b Þ a (obrácená) ¬ b Þ ¬ a (obměna) 1

¬ a ¬ b ¬ b Þ ¬ a Obrácená implikace, obměna implikace: a b a Þ b Implikace b Þ a se nazývá obrácená implikace k implikaci a Þ b Implikace ¬ b Þ ¬ a se nazývá obměna implikace a Þ b a b ¬ a ¬ b a Þ b b Þ a (obrácená) ¬ b Þ ¬ a (obměna) 1

¬ a ¬ b ¬ b Þ ¬ a Obrácená implikace, obměna implikace: a b a Þ b Implikace b Þ a se nazývá obrácená implikace k implikaci a Þ b Implikace ¬ b Þ ¬ a se nazývá obměna implikace a Þ b a b ¬ a ¬ b a Þ b b Þ a (obrácená) ¬ b Þ ¬ a (obměna) 1 Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace. Obrácená implikace může mít jinou pravdivostní hodnotu než původní implikace.