Stereometrie Užití řezů těles VY_32_INOVACE_M3r0111 Mgr. Jakub Němec

Užití řezů při konstrukčních úlohách Řezy těles danou rovinou lze využít při řadě konstrukčních problémů. V této prezentaci si ukážeme, jak přesně najít průsečnici dvou rovin, společný bod a roviny a společné body stěn krychle a přímky.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny ACF a BEG. Určete průsečnici těchto rovin.

Z kapitoly o hledání řezů danou rovinou víme, že část řezu určíme mj Z kapitoly o hledání řezů danou rovinou víme, že část řezu určíme mj. pomocí dvou bodů v rovině jedné stěny. Jejich spojením získáme část řezu. V případě roviny ACF lze pomocí tohoto pravidla sestrojit celý řez.

Stejným postupem získáme i řez určený rovinou BEG.

Pro nalezení průsečnice je potřeba určit alespoň dva body, které jsou společné pro dané roviny. Je zřejmé, že pokud hledáme průsečnici pomocí řezů určených danými rovinami, musí hledané společné body ležet ve stěně krychle. Bod P leží v přední stěně(určený částí řezu AF a EB), bod R leží v boční stěně (průsečík BG a CF).

Jejich spojením získáme hledanou přímku, která je společná pro obě roviny – průsečnici PR.

Určíme viditelnost.

Pro názornost je přiložena viditelnost rovin v krychli. Průsečnice je místo, kde se roviny protínají, mění se na ní i jejich vzájemná viditelnost (v horní části krychle je „více vpředu“ rovina AFC, zatímco v dolní části krychle je v popředí rovina BEG).

V krychli ABCDEFGH mějme roviny BFH a GKL, kde body K a L jsou po řadě středy hran AE a BF. Určete průsečnici těchto rovin.

Nejdříve sestrojíme rovinu BFH. Na základě pravidla o bodech ležících ve stejné rovině lze určit části řezu BF a FH.

Dokončení řezu je založeno na pravidlu o rovnoběžnosti dvou rovin, k nimž je třetí různoběžná.

Podobně sestrojíme i řez určený rovinou GKL. Nejdříve spojíme body ve stejných stěnách.

Poté doplníme části řezu, které jsou v rovnoběžných stěnách. Řez je hotov.

Společnými body obou řezů (a tedy i rovin) jsou body H a L.

Jejich spojením získáme průsečnici rovin BFH a GKL.

Určíme viditelnost řezů.

Pro názornost je přiložena viditelnost rovin v krychli.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABG a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AE, BC a CG. Určete průsečnici těchto rovin.

Sestrojme nejdříve řez roviny KLM. Na úvod můžeme využít toho, že body L a M leží v jedné rovině, a díky tomu je spojit. Tato část řezu nám bude nápomocna v dalším postupu, kdy budeme hledat společný bod pro tři různoběžné roviny (přední stěna, boční stěna a zadaná rovina). Díky tomu získáme část řezu v přední stěně.

Na základě rovnoběžnosti stěn v krychli je dokončení řezu snadným cvičením.

Řez rovinou ABG by pro vás měl být již triviální. Spojíme body ve stejných stěnách a získáme části řezu AB a BG.

Řez dokončíme díky tomu, že stěny v krychli jsou navzájem rovnoběžné.

Body P a R jsou společné body námi určených řezů a díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.

Spojením bodů P a R získáme hledanou průsečnici.

Určíme viditelnost řezů.

Pro názornost je přiložena viditelnost rovin v krychli.

V krychli ABCDEFGH mějme rovinu BFH a přímku CE. Urči jejich průsečík a urči viditelnost přímky vůči rovině.

Nejprve sestrojíme rovinu. Dvojice bodů BF a FH lze spojit, poněvadž leží v jedné rovině.

Dokončení řezu je snadné díky využití rovnoběžnosti stěn krychle.

Určíme viditelnost řezu.

Nalézt přímku CE by neměl být problém. Obtížnější bude najít místo, kde protíná rovinu BFH, což je shodou okolností náš úkol.

Krokem, který nám určitě pomůže, je nalezení vhodné roviny, ve které leží přímka CE. Nejvhodnější se jeví úhlopříčná rovina ACE. Postup však lze aplikovat i s jinými rovinami, v nichž by přímka ležela (pro zajímavost si můžete nějakou takovou rovinu najít).

Rovina BFH a rovina „kolem přímky“ ACE mají společné body S a T.

Body S a T nám určují průsečnici, která obsahuje všechny společné body obou rovin, tedy i společný bod přímky EC a roviny BFH.

Průsečík P průsečnice ST a přímky CE je bod, který nám určuje místo, kde přímka EC protíná rovinu BFH a právě tento bod jsme hledali.

Nyní určíme viditelnost přímky CE vůči rovině BFH. Zvolíme si libovolnou různoběžnou rovinu k přímce CE a rovině BF, nejlépe např. horní podstavu. Bod E leží v přední hraně horní podstavy, zatímco bod H leží v zadní hraně horní podstavy, proto leží přímka před rovinou – vyznačíme ji plnou čarou. Bod P určuje změnu situace, za ním přímku nevidíme, dokud nepřekoná „okraj“ řezu (v dolní podstavě je bod roviny B „vpředu“, zatímco bod přímky C „vzadu“) – vyznačíme přerušovanou čarou. Ostatní část lze opět vidět – značíme plnou čarou.

Pro názornost je přiložena viditelnost roviny a přímky.

V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLH a přímku FM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH. Urči jejich průsečík a urči viditelnost přímky vůči rovině.

Nejprve sestrojíme řez roviny. Prodloužená část řezu KL a průsečnice dolní a boční stěny nám určí společný bod tří různoběžných rovin (dolní podstava, boční stěna a rovina KLH). Tuto vlastnost využijeme pro konstrukci řezu v boční stěně.

Řez dokončíme na základě rovnoběžnosti stěn krychle.

Určíme viditelnost řezu.

Určíme přímku FM v krychli.

Nalezneme vhodnou rovinu, v níž přímka FM leží, např Nalezneme vhodnou rovinu, v níž přímka FM leží, např. úhlopříčnou rovinu BFH.

Nalezneme společné body pomocné roviny BFH a roviny KLH – jsou to body X a H.

Body X a H určují průsečnici rovin KLH a BFH.

Průsečík P průsečnice HX a přímky FM určuje bod, který je společný pro přímku FM a rovinu KLH.

Určíme viditelnost přímky FM vůči rovině KLH.

Pro názornost je přiložena viditelnost roviny a přímky.

V krychli ABCDEFGH mějme přímku KL, kde bod K leží na polopřímce HD a zároveň platí |HD|:|HK|= 2:3 a bod L leží na polopřímce EF a zároveň platí |EF|:|EL|= 2:3. Určete její průsečíky se stěnami krychle a urči její viditelnost vůči krychli.

Nejprve určíme přímku KL.

Naším úkolem je najít vhodnou rovinu, která by nám ukázala, ve kterých bodech přímka protíná stěny. Využijeme kolmých průmětů bodů K a L do horní a dolní podstavy.

Na základě znalosti bodů L, L‘, K‘ a K‘‘ je snadné najít rovinu, která je těmito body určena. V této rovině leží i zadaná přímka KL.

Určíme řez, který je určen rovinou L, L‘ a K‘. Průsečíky řezu a přímky jsou body, v němž přímka vstupuje do krychle (P) a v němž z krychle vychází (R). Řez krychle nám totiž určuje průsečnice bočních stěn a pomocné roviny, a proto také společné body přímky a částí řezu.

Určíme viditelnost.

Pro názornost je přiložena viditelnost pláště krychle a přímky.

Úkol závěrem V krychli ABCDEFGH určete: a) průsečnici rovin KFC a ACG, kde bod K je střed hrany AE. b) průsečnici rovin ALG a BFH, kde bod L je střed hrany BF. c) průsečnici rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, DH, AD, CD a GH. d) průsečík přímky BK a roviny ALG, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a BF. Určit také viditelnost přímky vůči rovině. e) průsečíky přímky KL se stěnami krychle a viditelnost přímky KL vůči krychli, když pro bod K platí, že leží na polopřímce DA a zároveň platí |DA|:|DK|= 2:3 a bod L leží na polopřímce CG a zároveň platí |CG|:|CL|= 2:3.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.