Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Binomická věta VY_32_INOVACE_M4r0112 Mgr. Jakub Němec

Binomická věta a Pascalův trojúhelník Pomocí binomické věty jsme schopni odvodit jakýkoliv vzorec n-té mocniny. Koeficienty při řešení n-té mocniny výrazu (𝑎+𝑏) odpovídají číslům v tzv. Pascalově trojúhelníku, o němž jsme se zmiňovali v dřívější kapitole. 1 (𝑎+𝑏) 0 1 1 1 (𝑎+𝑏) 1 𝑎+𝑏 1 2 1 (𝑎+𝑏) 2 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 1 3 3 1 (𝑎+𝑏) 3 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 1 4 6 4 1 (𝑎+𝑏) 4 𝑎 4 +4 𝑎 3 𝑏+6 𝑎 2 𝑏 2 +4𝑎 𝑏 3 + 𝑏 4 1 5 10 10 5 1 (𝑎+𝑏) 5 𝑎 5 +5 𝑎 4 𝑏+10 𝑎 3 𝑏 2 +10 𝑎 2 𝑏 3 +5𝑎 𝑏 4 + 𝑏 5 𝑎𝑡𝑑… 𝑎𝑡𝑑… 𝑎𝑡𝑑…

Binomická věta a Pascalův trojúhelník Z předešlé lekce o kombinačních číslech je nám již známo, jakým způsobem koresponduje Pascalův trojúhelník s kombinačními čísly. Pro připomenutí níže. 0 0 1 1 0 1 1 1 1 2 0 2 1 2 2 1 2 1 3 0 3 1 3 2 3 3 1 3 3 1 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 1 4 6 4 1 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 1 5 10 10 5 1 𝑎𝑡𝑑… 𝑎𝑡𝑑…

Binomická věta - Definice Z výše uvedeného můžeme odvodit definici: Pro všechna a, b a každé přirozené číslo n platí 𝒂+𝒃 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒂 𝒏 + 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏−𝟏 𝒃+ 𝒏 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 +…+ + 𝒏 𝒌 𝒂 𝒏−𝒌 𝒃 𝒌 +…+ 𝒏 𝒏−𝟏 𝒂𝒃 𝒏−𝟏 + 𝒏 𝒏 𝒃 𝒏 0 0 (𝑎+𝑏) 0 1 1 0 1 1 (𝑎+𝑏) 1 𝑎+𝑏 2 0 2 1 2 2 (𝑎+𝑏) 2 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 3 0 3 1 3 2 3 3 (𝑎+𝑏) 3 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 (𝑎+𝑏) 4 𝑎 4 +4 𝑎 3 𝑏+6 𝑎 2 𝑏 2 +4𝑎 𝑏 3 + 𝑏 4 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 (𝑎+𝑏) 5 𝑎 5 +5 𝑎 4 𝑏+10 𝑎 3 𝑏 2 +10 𝑎 2 𝑏 3 +5𝑎 𝑏 4 + 𝑏 5 𝑎𝑡𝑑… 𝑎𝑡𝑑… 𝑎𝑡𝑑…

Určete binomický rozvoj výrazu 3 𝑥 2 −2𝑦 5 . Aplikací definice pro binomický rozvoj dostaneme jeho výslednou podobu. Musíme však být pečliví a trpěliví. Nejdříve přepíšeme celý binomický rozvoj dle definice. Poté upravíme kombinační čísla a mocniny. Nakonec roznásobíme koeficienty (v tomto příkladu nelze sčítat mocniny neznámých, protože jsou jiného základu, v opačném případě bychom tak učinili). 3 𝑥 2 −2𝑦 5 = 5 0 3 𝑥 2 5 ∙ −2𝑦 0 + 5 1 3 𝑥 2 4 ∙ −2𝑦 1 + + 5 2 3 𝑥 2 3 ∙ −2𝑦 2 + 5 3 3 𝑥 2 2 ∙ −2𝑦 3 + + 5 4 3 𝑥 2 1 ∙ −2𝑦 4 + 5 5 3 𝑥 2 0 ∙ −2𝑦 5 = =243 𝑥 10 +5∙81 𝑥 8 ∙ −2𝑦 +10∙27 𝑥 6 ∙4 𝑦 2 + +10∙9 𝑥 4 ∙ −8 𝑦 3 +5∙3 𝑥 2 ∙16 𝑦 4 + −32 𝑦 5 = =𝟐𝟒𝟑 𝒙 𝟏𝟎 −𝟖𝟏𝟎 𝒙 𝟖 𝒚+𝟏𝟎𝟖𝟎 𝒙 𝟔 𝒚 𝟐 −𝟕𝟐𝟎 𝒙 𝟒 𝒚 𝟑 +𝟐𝟒𝟎 𝒙 𝟐 𝒚 𝟒 −𝟑𝟐 𝒚 𝟓

Určete šestý člen binomického rozvoje výrazu 𝑥 3 −2𝑦 10 . Tento příklad řešíme taktéž přímou aplikací definice pro binomický rozvoj, pouze s tím rozdílem, že se zaměříme pouze na jeho část. Šestému členu odpovídá kombinační číslo 10 5 (u prvního členu se 𝑘=0, u druhého 𝑘=1, u posledního 𝑘= 𝑛). Koeficienty mocnin doplníme dle definice binomické věty. Na závěr upravíme. Určete šestý člen binomického rozvoje výrazu 𝑥 3 −2𝑦 10 . 10 5 ∙ 𝑥 3 10−5 ∙ −2𝑦 5 = =252∙ 𝑥 15 ∙ −32 𝑦 5 = =−𝟖𝟎𝟔𝟒 𝒙 𝟏𝟓 𝒚 𝟓

Určete, který člen binomického rozvoje 𝑥 2 −5𝑥 7 neobsahuje x. 𝑛 𝑘 ∙ 𝑥 2 𝑛−𝑘 ∙ 5𝑥 𝑘 =𝑎∙ 𝑥 0 Sem zadejte rovnici.

Úkol závěrem 1) Určete binomický rozvoj výrazu 2 𝑥 3 −3𝑥 7 . 2) Určete osmý člen binomického rozvoje výrazu 2𝑥 5 −2𝑥𝑦 12 . 3) Určete, který člen binomického rozvoje 𝑥 3 −5𝑥 9 obsahuje 𝑥 17 .

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.