V matematice existují i seskupení objektů, které nejsou množinami. Množiny Množina – skupina prvků (objektů). Množina je dána, pokud o libovolném objektu z celého mnohovesmíru jsme schopni říct, zda do ni patří či nikoliv. Začíme velkými písmeny. Toto není definice v matematickém slova smyslu, pouze intuitivní vymezení pojmu. V matematice existují i seskupení objektů, které nejsou množinami. Prvek množiny – fakt, že prvek náleží, resp. nenáleží množině (např. A), značíme Prázdná množina – mezi všemi množinami má zvláštní postave- vení. Neobsahuje žádný prvek, značíme . O prvcích prázdné mno- žiny lze prohlásit cokoliv. Libovolný výrok, který se týká prvku prázdné množiny, je vždy pravdivý. Například výrok je pravdivý. V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Rovnost množin Množiny jsou si rovny, pokud mají shodné prvky. Tento intuitivní pojem lze matematicky definovat takto: Buď A a B množiny. Řekneme, že A = B, právě když platí zároveň dva následující výroky: Definice 1. Platí-li pouze jedno z těchto tvrzení, jsou množiny ve stavu inkluze (jed- na obsahuje druhou, jedna je podmnožinou druhé): nebo

Vzájemné vztahy množin Vztahy mezi množinami lze dobře naznačit Vennovými množinovými diagramy (viz. 1 třída ZŠ): A B B A Vždycky platí

Zápis množin Zápis množiny pomocí výčtu – vyjmenování všech prvků množiny, například: Zápis množiny pomocí vlastností prvků – popis vlastností, které mu- sí všechny prvky množiny mít, například:

Množinové operace A B A B A B Základní operace s množinami jsou následující: operace se nazývají sjednocení, průnik a rozdíl (doplněk). Jednoduše je popisují Vennovy diagramy: A B A B Průnik Sjednocení Doplněk A B

Množinové operace Další důležitá množinová operace je Kartézský součin: Buď A a B množiny. Kartézský součin A x B definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z A a B: Definice 2. Ve dvojicích záleží na pořadí. Touto operací lze například „vyrobit“ množinu uspořádaných dvojic reálných čísel, který známe jako vekto- rový prostor R2. 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 R Kartézský součin lze zobecnit na libovolný počet množin: (a, b) R

f je množina těchto přiřazení (dvojic) Množiny a zobrazení Buď A a B množiny. Zobrazení f definujeme jako množinu uspořádaných dvojic prvků z A a B takových, že: Definice 3. N i k o l i v ! A B To znamená, že zobrazení každému prvku A přiřadí nejvýše jeden prvek z B: A B f je množina těchto přiřazení (dvojic)

Vlastnosti zobrazení Se zobrazeními se v matematice setkáváme nejčastěji v podobě funkcí, tedy zobrazeními mezi množinami čísel, např. : Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: Definice 3. 25 7 16 4 5 4 6 36 6 10 3 9 4 8 2 1 1

Různá zobrazení, liší se v definičních oborech Vlastnosti zobrazení Zobrazení f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. U funkcí například je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor: Různá zobrazení, liší se v definičních oborech 1 -1 1 1 -1

Vlastnosti zobrazení Df Hf Df Hf Definice 4. Zobrazení f nazýváme prosté (injektivní), právě když: Zobrazení je prosté tehdy, když každému prvku z definičního oboru při- řadí právě jeden prvek z oboru hodnot: Df Hf Df Hf Prosté zobrazení NE prosté zobrazení

Zobrazení k němu inverzní neexistuje Zobrazení k němu inverzní Inverzní zobrazení Definice 5. Buď f: Df → Hf ,nechť je na Df prosté. Potom inverzním zobrazením f -1 rozumíme Utvořit inverzní zobrazení znamená v podstatě „obrátit směr“ původní- ho zobrazení. To ovšem nejde, není-li původní zobrazení prosté : Df Hf Ne - prosté zobrazení Zobrazení k němu inverzní neexistuje Df Hf Prosté zobrazení Zobrazení k němu inverzní

Složené zobrazení f○g g f Dg Hg = Df Hf Df○g Hf○g Definice 5. Buď f, g zobrazení. Množinu f○g , která je definována jako nazýváme složeným zobrazením. Zobrazení g označujeme jako vnitřní zobrazení, f jako vnější. Dg Hg = Df Hf f○g Df○g Hf○g g f

Mohutnost množin Definice 6. Množiny A, B nazveme ekvivalentní, pokud existuje prosté zobrazení f : A → B, přičemž A = Hf, B = Df (tedy celá množina A je zobrazena na celou množinu B). Píšeme A ~ B. Rovněž říkáme, že množiny mají stejnou mohutnost. Jedná-li se o množiny s konečným počtem prvků, pak pro to, aby měly stejnou mohutnost, musí mít stejný počet prvků. Každá konečná množina o n prvcích je ekvivalentní s množinou Definice 7. Množinu A nazveme spočetná, pokud A ~ N. Spočetnou množinu lze „očíslovat“, každému jejímu prvku je možné při- řadit index Každá podmnožina spočetné množiny je spočetná nebo konečná Sjednocení spočetného či konečného systému konečných či spočetných množin je množina nejvýše spočetná.

Mohutnost množin Je množina N2 = N x N spočetná? Příklad Je množina N2 = N x N spočetná? Množina N2 je spočetná. Pomocí tohoto principu lze ukázat, že sjedno- cení spočetného systému spočetných množin je spočetná množina.

Mohutnost množin Příklad Je množina racionálních čísel Q spočetná?

Mohutnost množin Existuje nespočetná množina. Věta 1. Důkaz Nalezeneme takovou množinu. Je jí například množina všech zobrazení z přirozených čísel N do množiny { 0, 1 }. Nazvěme ji pracovně M. Prvky této množiny jsou např. : Množina M je nespočetná, nelze její prvky opatřit indexy – přirozených čísel je na to málo (a to i přes to, že je jich nekonečně mnoho). Tento fakt dokážeme sporem.

Mohutnost množin Důkaz sporem : předpokládejme opak, tj. že množina M je spočetná, tedy že je možné prvky očíslovat – každou výše uvedenou funkci lze opatřit indexem: Ukažme, že tento předpoklad vede k nějakému nesmyslu. To lze ukázat snadno. Je totiž možné zkonstruovat funkci f , která je rovněž zobrazením z přirozených čísel N do množiny { 0, 1 }, a přesto není v množině M – liší se od každého prvku v M. Funkce je popsána v rámečku vlevo. Od f1 se f liší určitě pro n = 1. Od f2 se f liší určitě pro n = 2. Od f3 se f liší určitě pro n = 3 a tak dále. Liší se tedy od všech funkcí v M, ale podle předpokladu jsou v M všechny funkce zobrazující z N do { 0, 1 }. To je spor. Tvrzení, že M je spočetná neplatí – M je tedy nespočetná. Q.E.D.

Mohutnost množin V důsledku věty jedna je jasné, že interval <0,1> z reálných čísel je nes- početná množina – obsahuje všechna čísla typu 0.01101101111 … a ta jsou ekvivalentní s množinou M z důkazu věty 1. Libovolná podmnožina spočetné množiny je spočetná a interval <0,1> je nespočetná podmnožina R – tedy ani reálná čísla jako celek nejsou spo- četná. Nespočetné jsou samozřejmě i množiny R+, R-, I a C. Zatím nikdo nedokázal ani nevyvrátil existenci množiny, která by nebyla ekvivalentní ani s N, ani s R. Všechny množiny, se kterými se setkáme, bude možné očíslovat buď přirozenými, nebo reálnými čísly.

Shrnutí Definovali jsme pojem množina, prvek množiny, prázdná množina Definovali jsme vztahy mezi množinami (rovnost, inkluze) Základní operace s množinami jsou kartézský součin, sjednocení, průnik, rozdíl (doplněk) Definovali jsme pojem zobrazení Vlastnosti zobrazení Df, Hf, injektivnost (prostota), Inverzní zobrazení, složené zobrazení Mohutnost množin, pojmy spočetnosti a nespočetnosti