Matematická logika Michal Sihelský T4.C
Matematická logika Vznikla v 19. století Zakladatelem byl anglický matematik G. Boole ( ) prosadil algebraické pojetí logiky zavedl logické spojky
Výrok Každé tvrzení, u něhož je možné rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé Pravdivostní hodnoty: Pravdivý výrok = 1 Nepravdivý výrok = 2
Dvouhodnotová logika Logika, v níž je každému výroku přiřazena právě jedna ze dvou pravdivostních hodnot
Formule výrokového počtu Logická operaceZnačeníČteme negace výroku α¬ αneplatí α disjunkce výroků α, βα V βplatí α nebo β konjunkce výroků α, β α β platí α a současně β implikace výroků α, β α β jestliže platí α, platí β ekvivalence výroků α, β α β α platí právě tehdy, když platí β Z jednoduchých výroků tvořeny pomocí logických operací
α¬ α Pravdivostní hodnoty nově vzniklých výroků v závislosti na pravdivostních hodnotách původních výroků: αβα V β α βα βα β
Tautologie Složený výrok Je vždy pravdivý Nezávisle na pravdivostních hodnotách výroků, z nichž je složený výrok složen
Tautologie T1: α V ¬α Známa jako vyloučení třetího α¬ αα V ¬ α 10 01
Tautologie T2: (α β) (¬ β ¬ α) Při dokazování vět Každá matematická věta má tvar implikace nebo ekvivalence Podle T2 dokážeme pravdivost implikace α β tak, že dokážeme pravdivost implikace ¬ β ¬ α αβ¬ α¬ β α β¬ β ¬ α T
Tautologie T3: (α β) ((α β) (β α)) Říká, jak máme dokazovat mat. věty, které mají log. strukturu ekvivalence Důkaz ekvivalence se skládá z důk. dvou implikací αα α βα βα βα ββ αβ α(α β) (β α) T
Odkazy