MATEMATIKA Kombinatorické pravidlo součinu Příklady

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-09-02_Kombinatoricke-pravidlo-soucinu-Priklady Autor: Mgr. Stanislav Prucek Tematický okruh: Matematika Ročník: II. Datum tvorby: červenec 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU Příklady Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. ? Čtyřciferná čísla budeme považovat za uspořádané čtveřice, kde první člen lze vybrat devíti způsoby, neboť první číslice nesmí být nula. 𝒏 𝟏 =𝟗 Na druhém místě nesmí být stejná cifra jako na místě prvním, přibyla však cifra nula. 𝒏 𝟐 =𝟗 Po výběru druhého čísla zůstává osm cifer. 𝒏 𝟑 =𝟖 Po výběru třetího čísla zůstává sedm cifer. 𝒏 𝟒 = 7 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 Existuje tedy 4536 čtyřciferných čísel dané vlastnosti.

? 4 · 5 · 3 = 60 Z města A do města D vede 60 cest přes města B a C. Z města A do města B vedou čtyři cesty, z města B do města C pět cest a z města C do města D tři cesty. Určete počet cest, které vedou z města A do města D přes města B a C. Pro výběr prvního členu (cesta z města A do města B) máme celkem čtyři možnosti. 𝒏 𝟏 =𝟒 Pro výběr druhého členu (cesta z města B do města C) máme celkem pět možnosti. 𝒏 𝟐 =𝟓 Pro výběr třetího členu (cesta z města C do města D) máme celkem tři možnosti. 𝒏 𝟑 =𝟑 4 · 5 · 3 = 60 Z města A do města D vede 60 cest přes města B a C. zpět

? V míse je 8 pomerančů, 12 banánů a 6 jablek. Karel si má vybrat dva druhy ovoce po jednom kuse tak, aby Blanka, která si po něm vybere jeden pomeranč, jeden banán a jedno jablko, měla co největší možnost výběru. Určete, co si Karel vybere. 1. Karel si vybere pomeranč a banán. Blanka po něm vybírá ze 7 pomerančů, 11 banánů a 6 jablek. 7 · 11 · 6 = 462 Blanka má 462 možností výběru. 2. Karel si vybere pomeranč a jablko. Blanka po něm vybírá ze 7 pomerančů, 12 banánů a 5 jablek. 7 · 12 · 5 = 420 Blanka má 420 možností výběru. 3. Karel si vybere banán a jablko. Blanka po něm vybírá z 8 pomerančů, 11 banánů a 5 jablek. 8 · 11 · 5 = 440 Blanka má 440 možností výběru. Odpověď: Karel si vybere pomeranč a banán. Blanka pak má 462 možností výběru. zpět

? Odpověď: Trojúhelníků dané vlastnosti je tedy 𝟕𝟓𝟎𝟎 𝟔 =𝟏𝟐𝟓𝟎. Je dán pětiúhelník ABCDE a na každé jeho straně je zvoleno 5 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy X, Y, Z leží v daných a na různých stranách pětiúhelníku ABCDE. ? Vrchol X je možné zvolit v libovolném z daných bodů. 𝒏 𝟏 =𝟐𝟓 Vrchol Y již nesmí ležet na téže straně pětiúhelníku jako bod X. 𝒏 𝟐 =𝟐𝟎 Vrchol Z již nesmí ležet na těch stranách pětiúhelníku jako body X a Y. 𝒏 𝟑 =𝟏𝟓 Existuje tedy 25 · 20 · 15 = 7500 uspořádaných trojic. Šest uspořádaných trojic určuje stejný trojúhelník! [X, Y, Z], [X, Z, Y], [Y, X, Z], [Y, Z, X], [Z, X, Y], [Z, Y, X] Odpověď: Trojúhelníků dané vlastnosti je tedy 𝟕𝟓𝟎𝟎 𝟔 =𝟏𝟐𝟓𝟎. zpět

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu kombinatorického pravidla součinu. Žáci řeší jednoduché příklady kombinatorického pravidla součinu. Určují uspořádané k-tice. Použité zdroje: RNDr. Oldřich Petránek a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 4. část, 5. vydání 1996, Prometheus, ISBN 80-7196-040-3 Doc. RNDr. František Jirásek, DrSc. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU, 2. část, 3. vydání 2000, Prometheus, ISBN 80-7196-012-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek zpět