CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 17. PŘEDNÁŠKA Březen 2012 Teorie her

Březen 2012 další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE HER ☺ POKRAČOVÁNÍ

Teorie her Teorie her Teorie her je disciplína aplikované matematiky provádějící analýzu položenou do širokého spektra konfliktních rozhodovacích situací a střetu zájmů. Teorie her se uplatňuje v mnoha oblastech lidské činnosti od ekonomie, přes techniku, logistiku, lékařstvi, politologii až třeba po sociologii a biologii. Teorie her Březen 2011

Teorie her Theory of Games and Economic Behavior Teorie her jako vědní disciplína byla přesně popsána v roce 1944 v publikaci Johna von Neumanna a Oskara Morgensterna Theory of Games and Economic Behavior. Teorie her Březen 2011

Teoretické herní modely Teoretické herní modely se snaží konfliktní situ- ace nejen analyzovat, ale sestavením matematic- kého modelu daného konfliktu a následných simulačních experimentů nalézt co nejlepší stra- tegie pro konkrétní účastníky těchto konfliktů. Teorie her Březen 2011

Herně-teoretické modely Herně-teoretické modely se pak snaží tyto konfliktní situace nejen analyzovat, ale sestavením matematického modelu daného konfliktu a pomocí výpočtů se snaží nalézt co nejlepší strategie pro konkrétní účastníky takových konfliktů. Teorie her Březen 2011

Strategie her strategie Strategie her V teorii her, je strategie kompletní sada mož- ností, které má hráč k dispozici, aby mohl hru hrát v jakékoli situaci. Strategie tedy plně definuje možnosti hrá- čova rozhodování. Prostor strategií je seznam všech možných alternativ, které jsou hráči dostupné. Teorie her Březen 2011

Strategický profil Profil strategie Hra v normálním tvaru, je určená třemi množi- nami. Obsahuje, mimo jiné, i množinou všech prostorů strategii: {X1,X2,...,Xn}. Zde Xi označuje prostor strategií i-tého hráče. Strategický profil (občas nazvaný strategická kombinace) je prostor strategií pro každého hráče - plně určuje všechny akce ve hře. Profil strategie musí obsahovat pouze jednu strategii pro jednoho hráče. Teorie her Březen 2011

Pokud jsou množiny strategií jednotlivých hráčů konečné, hovoříme o konečných hrách. Je-li množina strategií alespoň jednoho hráče nekonečná, jde o nekonečnou hru. Teorie her Březen 2011

hráči Účastníci hry jsou hráči, každý hráč vybírá optimální strategii ze svého prostoru strategií podle hodnot výplatní funkce. Hráčův prostor strategií tedy definuje, jaké strategie je možné hrát. Teorie her Březen 2011

inteligentní neinteligentními Předpokládáme, že hráči jsou inteligentní (racionální), tj. že maximalizují hodnotu své výplatní funkce - že si hráč vybírá pouze efektivní strategie. Naopak hráči, kteří se konfliktu (hry) účastní, ale výsledek hry je nezajímá, jsou nazýváni neinteligentními hráči. Často se pro neinteligentního hráče používá též termín příroda. Teorie her Březen 2011

že znají výplatní funkce platba výplata hry Dále předpokládáme, že hráči mají dokonalé informace, tj. že znají množiny hráčů, prosto- rů strategií i výplatních funkcí. Pro každého hráče je definována výplatní funkce - která každé kombinaci strategií hráčů přiřadí velikost výplaty tohoto hráče - platba neboli výplata hry je výsledek hry jednotlivých hráčů v závislosti na jimi vybra- ných strategiích. Teorie her Březen 2011

konfliktní situace. Základním pojmem teorie her je konfliktní situace. Tímto pojmem jsou označovány všechny situace, ve kterých jde o střet zájmů účast- níků konfliktu. Dosažení cíle jednotlivých účastníků je ome- zováno nebo korigováno cíly a zájmy ostatních. Teorie her Březen 2011

- antagonistický - neantagonistický. Konfliktní situace může mít charakter: - antagonistický - neantagonistický. V případě antagonistického konfliktu dosaže- ní cíle jedním z účastníků zamezí pozitivnímu výsledku ostatních - úspěch každého z hráčů je možný pouze na úkor úspěšnosti ostatních hráčů. Teorie her Březen 2011

Antagonické konfliktní situace musí vyhovo- vat následujícím podmínkám: - Zúčastnit se musí minimálně dva účastníci. - Každý z účastníků rozhodovací situace zná množinu alternativ svého chování, ale také zná množinu alternativ chování svého protivníka / protivníků. Teorie her Březen 2011

- Každý z účastníků rozhodovací situace dokáže ocenit efektivnost své volby ve všech možných případech, které by mohly nastat. - Každý z účastníků rozhodovací situace volí z množných alternativ nezávisle na volbách protivníků. - Alespoň jeden účastník rozhodovací situace je inteligentní hráč, Teorie her Březen 2011

Obecné předpoklady teorie her Obecné předpoklady teorie her 1. Hráči jsou racionální. 2. Všichni účastníci hry znají pravidla a ta se v průběhu jedné hry nemění. 3. Hráči mají přehled o hodnotách ve hře a znají výši zisků a ztrát. Teorie her Březen 2011

Zápis her Zápis her V teorii her jsou hry formálně definovanými pojmy. Hra obsahuje hráče, jimi prováděné jejich možné tahy (nebo akce, strategie) a funkci udávající zisk každého hráče v závislosti na provedených tazích (jeho i soupeřů). Teorie her Březen 2010

Zápis her Normální forma Extensivní forma Zápis her V literatuře se hry zapisují jedním ze dvou následujících způsobů: Normální forma Extensivní forma Teorie her Březen 2010

Zápis her Normální forma Extensivní forma Zápis her V literatuře se hry zapisují jedním ze dvou následujících způsobů: Normální forma Extensivní forma Teorie her Březen 2011

Normální forma Normální forma Normální forma hry je většinou reprezentová- na maticí, která zobrazuje hráče, jejich možné strategie a možné zisky. Obecněji může být reprezentována funkcí, která přiřazuje zisk každému hráči na základě dané kombinace tahů. Teorie her Březen 2009

V příkladu uvedeném v tabulce jsou dva hráči. Úkolem prvního hráče je vybrat řádek. Úkolem druhého je vybrat sloupec. Každý hráč má dvě možnosti. Teorie her Březen 2009

Zisky jsou zapsány uvnitř matice, první číslo určuje zisk pro hráče 1, druhé určuje zisk pro hráče 2. Pokud tedy první hráč vybere A a druhý X, zisk prvního hráče je 4 a zisk druhého hráče je 3. Teorie her Březen 2009

Teorie her Březen 2009 Hráč 2 vybere XHráč 2 vybere Y Hráč 1 vybere A 4, 3-1, -1 Hráč 1 vybere B 0, 0 3, 4

U her v normální formě se předpokládá, že hráči vybírají tahy zároveň, nebo alespoň nevědí, který tah vybral protihráč. Pokud hráči mohou znát tahy protihráče, uvá- dí se hra většinou extensivní formě. Teorie her Březen 2009

Extensivní forma Extensivní forma Extensivní forma hry bývá používána k for- malizaci her, ve kterých hraje roli pořadí tahů. Hry jsou prezentovány v grafické podobě stromů (viz obrázek). Teorie her Březen 2009

Každý uzel zde reprezentuje místo, ve kterém některý z hráčů vybírá tah – číslo v uzlu určuje pořadí hráčů. Hrany reprezentují možné tahy hráče. Zisk pro jednotlivé hráče je specifikován v lis- tu stromu. Teorie her Březen 2009

Ve hře na obrázku jsou zase dva hráči. Hráč 1 vybírá první a má na výběr buď F, nebo U. Hráč 2 vidí tah hráče 1 a poté vybere buď A nebo R. Předpokládejme, že hráč 1 vybere U a hráč 2 vybere A. Potom zisk prvního hráče je 8 a zisk druhého hráče je 2. Teorie her Březen 2009

Teorie her Březen 2009 A A R FU 1 5 ; 5 22 R 0 ; 0 8 ; 2 0 ; 0

Extensivní forma může zobrazit i situaci, kdy hráči vybírají tahy zároveň a také hry s neú- plnou informací. Pokud hráč neví, v kterém z několika stavů je, zakreslí se okolo těchto stavů kružnice. Teorie her Březen 2009

Hry s nulovým součtem a hry s nenu- lovým součtem Hry s nulovým součtem a hry s nenu- lovým součtem V případě her s nulovým součtem je celko- vý užitek pro všechny zúčastněné hráče a pro každou kombinaci strategií roven nule. Jinak řečeno, vítězný hráč získává na úkor ostatních. Teorie her Březen 2009

Příkladem hry s nulovým součtem jsou na- příklad hry: go, šachy nebo poker. V reálném světě se většinou setkáváme s hrami s nenulovým součtem, kdy některé výsledky přinášejí celkový čistý užitek větší nebo menší nule. Neboli zisk jednoho hráče nemusí pro jiného hráče nutně znamenat ztrátu. Teorie her Březen 2009

Teorie her Březen 2009 AB A 4, -4-1, -1 B 0, 0-2, 2

Hry s úplnými informacemi a hry s neúpl- nými informacemi Hry s úplnými informacemi a hry s neúpl- nými informacemi V hrách s úplnými informacemi má každý hráč k dispozici stejné informace týkající se hry jako všichni ostatní. Příkladem mohou být šachy. Teorie her Březen 2011

Hry s úplnými informacemi a hry s neúpl- nými informacemi Hry s úplnými informacemi a hry s neúpl- nými informacemi Naopak hrou s neúplnými informacemi je poker nebo vězňovo dilema. Hry s úplnými informacemi se v běžném životě vyskytují zřídka. Teorie her Březen 2011

Rozhodování při riziku Rozhodování při riziku Jestliže hráč 1 zná (například na základě předchozí zkušenosti) pravděpodobnost, s nimiž hráč 2 volí své strategie, pak se jedná o rozhodování při riziku. Teorie her Březen 2011 Typy rozhodování:

Rozhodování při nejistotě Rozhodování při nejistotě Jestliže rozložení pravděpodobností hráč nezná, mluvíme o rozhodování při nejistotě. Teorie her Březen 2011 Typy rozhodování:

V rozhodování o riziku a nejistotě V rozhodování o riziku a nejistotě je využí- ván Laplaceův princip - navrhuje zvolit takovou strategii, která by byla optimální v případě, že by pravděpodobností, s nimiž nastanou různé stavy světa, byly shodné, tj. jako kdyby se jednalo o rozhodování za rizika se stejnými pravděpodobnosti přiřazenými jednotlivým stavům. Teorie her Březen 2011 Rozhodovací principy:

Maximinimální (pesimistické) kriterium: Tento princip navrhuje pro jednotlivé možné strategie stanovit nejnižší hodnoty užitku a zvolit takovou strategii, pro kterou je toto minimum maximální. Rozhodovatel tedy předpokládá, že se jej okolní svět bude „snažit“ co nejvíce poškodit. Teorie her Březen 2011 Rozhodovací principy:

Maximaxivní (optimistické) kriterium: Tento princip navrhuje pro jednotlivé možné strategie stanovit nejvyšší hodnoty užitku a zvolit takovou strategii, pro kterou je toto maximum maximální. Rozhodovatel tedy předpokládá, že se mu okolní svět bude „snažit“ co nejvíce pomoci. Teorie her Březen 2011 Rozhodovací principy:

Hurwitzovo kritérium: Jde o konvexní kombinaci optimistického a pesimistického kritéria. Vhodná volba parametru alpha umožní nasta- vit vhodný kompromis mezi oběma krajnost- mi – často nepřijatelné důvěřivým, resp. ne- přijatelně opatrným kritériem. Teorie her Březen 2011 Rozhodovací principy:

Teorie her Březen 2011 Hledáme-li optimální řešení antagonistického konfliktu = hledáme vlastně stabilní řešení, stabilní v tom smyslu, že ani jednomu hráči se nevyplatí od této strategie „utéct“. Tj. má to být takové řešení …, aby pokud pouze první hráč změní strategii a druhý hráč zůstane u své strategie, potom si první hráč pohorší. Stejně tak s druhým hráčem. Sedlo

Teorie her Březen 2011 Ze stanovení dolní ceny hry a horní ceny hry vyplývá, že optimální řešení antago- nistického konfliktu (v ryzích strategiích) existuje, pokud platí: Sedlo

Teorie her Březen 2011 Pokud je tato rovnost splněna, existuje prvek v matici (hra hraná v maticovém tvaru), který je nejmenší ve svém řádku a největší ve svém sloupci. Sedlo Tento prvek nazýváme sedlový bod. … viz Wikipedia …

Hra vězňovo dilema Hra vězňovo dilema předpokládá, že žádný z hráčů se nechce nechat dobrovolně uvěznit. Očekává se, že hráč je konfrontován s urči- tým počtem situací a dokáže si je seřadit podle svých preferencí od nejvýhodnější po nejméně výhodnou. Teorie her Březen 2011

Toto seřazení musí být - úplné, tj. musí pokrývat všechny situace, a - tranzitivní, tj. pokud dá hráč přednost situaci A před situací B a situaci B před situací C, musí dát přednost situaci A před situací C. Teorie her Březen 2011

Teorie her Březen 2011 …. V logice a matematice se binární relace R na množině X nazývá tranzitivní, pokud pro každé α, β a γ z X platí, že pokud α je v relaci s β a β je v relaci s γ, je i α v relaci s γ. Například: „je větší než“ a „je rovno“ jsou tranzitivní relace: pokud a = b a b = c, platí i a = c. Na druhou stranu, „je matkou“ není tranzitivní relace, proto- že, když Anna je matkou Boženy a Božena je matkou Ctirady, není Anna matkou Ctirady.

Klasičtí představitelé: Vězňovo dilema John Nash Bitva pohlaví Dlouhý, Martin - Fiala, Petr Úvod do teorie her - Oeconomica, ISBN: Teorie her Březen 2011

Vězňovo dilema Už jen jedna poznámka …. Vězňovo dilema označuje v teorii her typ hry s nenulovým součtem, ve které mají dva hráči („vězni“) možnost spolupracovat nebo nespolupra- covat a výsledný stav výplaty („doba, ke které budou odsouzeni“) závisí na jejich rozhodnutí. Tak jako u mnoha jiných her se předpokládá, že každý hráč se stará především o svůj prospěch – snaží se maximalizovat své výhody a nebere ohled na prospěch ostatních hráčů. Teorie her Březen 2011

Vězňovo dilema A k tomu už jen příklad …. Vězňovo dilema Policie zadržela dva podezřelé – Zeka a Yetiho – a drží je odděleně. Důkazy, které má policie, nejsou dostatečné pro usvědčení, takže se musí spoléhat na přiznání resp. udání (navzájem, nebo jednoho). V řešení mohou nastat tři varianty ….. Teorie her Březen 2011

Pokud se oba dva navzájem udají, budou odsou- zeni na pět let. Pokud jeden udá druhého a druhý zůstane mlčet, bude udavač volný a druhý odsouzen na plných deset let. Pokud oba dva zůstanou mlčet, odsoudí oba za drobnější přestupky na dva roky. Teorie her Březen 2011

Vzhledem k tomu, že ani jeden zadržený si nemůže být jistý, co zvolí ten druhý, nastává dilema: mluvit nebo mlčet? Problém je vyjádřen formou tabulky: Teorie her Březen 2011 Yeti mlčíYeti mluví Zek mlčíOba odsoudí na 2 rokyZek dostane 10 let, Yeti bude volný Zek mluvíZek bude volný, Yeti dostane 10 let Oba odsoudí na 5 let

Zek uvažuje takto: pokud bude Yeti mlčet a já také, dostanu 2 roky; lepší bude mluvit, protože budu volný pokud bude Yeti mluvit a já mlčet, dostanu 10 let; lepší bude mluvit, protože dostanu jen 5 let¨. Stejně uvažuje i Yeti. Takže pokud oba udělají racionální rozhodnutí, budou oba dva mluvit (a dostanou 5 let), přestože optimálním rozhodnutím by bylo zůstat mlčet (a dostat jen 2 roky). Teorie her Březen 2011

Lidské chování ve vězňově dilematu: Jeden experiment na základě tohoto jednodu- chého dilematu prokázal, že přibližně 40% účastníků hrálo kooperativně (tzn. mlčeli). Teorie her Březen 2011

březen 2012 …..… cw05 – p. 17 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……

……… Březen 2012