Systém rizikové analýzy při statickém návrhu podzemního díla Jan Pruška

Definice spolehlivosti Spolehlivost = schopnost systému (konstrukce) zachovávat požadované vlastnosti po celou dobu životnosti = pravděpodobnost, že požadované vlastnosti budou zachovány (p s ) p s = 1 – p f kde p f je pravděpodobnost poruchy.

Definování rizika Riziko je pravděpodobnost vzniku nežádoucího jevu během přípravy, realizace a provozování podzemních staveb Riziko H (hazard): H = p f * C f kde C f je průměrná očekávaná hmotná škoda, ke které by došlo při vzniku poruchy.

Druhy rizik Rizika technického řešení Rizika geotechnických poměrů zájmového území Rizika výstavby podzemního díla Rizika provozní

EN Zásady navrhování konstrukcí EN 1990: „Alternativně lze použít návrh založený přímo na pravděpodobnostních metodách“ Stochastický návrh je nutné vždy porovnat s výpočtem metodou dílčích koeficientů

EN Navrhování geotechnických konstrukcí EN 1997: Charakteristické hodnoty geotechnických parametrů Pokud se použijí statistické metody, charakteristická hodnota se má odvodit tak, že vypočtená pravděpodobnost horší hodnoty„ řídící výskyt uvažovaného mezního stavu není větší než 5%.“ Pokud se při výběru charakteristických hodnot vlastností základové půdy použijí statistické metody, mají takové metody rozlišovat mezi místním a regionálním odběrem vzorků a mají dovolit užití apriori znalostí srovnatelných vlastností základové půdy

Riziko horninového prostředí Hledáme odpověď na otázku: „Jaké vstupní parametry mají být použity v matematické analýze?“ Zohlednění variability geologického prostředí → spolehlivé stanovení pravděpodobnosti poruchy → přizpůsobení konstrukce akceptovatelné míře rizika

Deterministický a pravděpodobnostní přístup Deterministicky formulovaná podmínka spolehlivosti: R N ≥ E N Pravděpodobnostní přístup (funkce spolehlivosti): R – E ≥ 0 kde R (odpor konstrukce = únosnost) a E (vnější zatížení) jsou náhodné veličiny s hustotami pravděpodobnosti f R (r) a f E (e).

Metody řešení spolehlivosti lze rozdělit na dvě základní skupiny: -aproximační metody -simulační metody: Monte Carlo LHS - Latin Hypercube Sampling (Metoda latinských hyperkrychlí)

Výhody LHS Koncept založen na metodě Monte Carlo metoda používající výběru vrstev zachovává mezní rozdělení pravděpodobnosti pro každou simulovanou proměnnou snižuje počet nutných výpočtů pro dosažení adekvátní přesnosti

Výstup LHS Latinský čtyřhran je čtvercová síť popisující pozicí výběrů, kdy je v každé řadě a sloupci pouze jeden vzorek (výběr). Latinská hyperkrychle je zobecnění Latinského čtyřhranu – každý vzorek je pouze jeden v jedné řadě (v intervalu jedné osy)

Obecný princip LHS Pro proměnné spočteme distribuční funkce, ty normujeme na interval a rozdělíme na N nepřekrývajících se intervalů o stejné pravděpodobnosti (zde N = 5),

Obecný princip LHS Z N hodnot získaných pro každý typ simulované náhodné proměnné (jejich počet je K), sestavíme matici N*K a zpětně spočteme skutečné hodnoty (odnormování). N hodnot proměnných je spárováno náhodným způsobem navzájem

Obecný princip LHS Princip Sestavení matice - Náhodné permutace

Výsledná sada dat

Obecný princip LHS Vzorky mohu také normalizovat kde u j a σ j jsou střední hodnota a směrodatná odchylka j-té proměnné

„LHS – mean“ vs „LHS – median srovnání metod výběru vzorků

Vliv počtu simulací N Střední hodnota Směrodatná odchylka

Vliv počtu simulací N Střední hodnota Směrodatná odchylka

Zohlednění korelací mezi proměnnými Většina postupů je implementací statistické korelace formou záměny pořadí vzorků u jednotlivých proměnných a nemění již jejich hodnoty. Metody: Pearsonův lineární korelační koeficientu Spearmanův koeficient pořadové korelace Metoda žíhání

Porovnání postupů deterministické a stochastické analýzy

Nevýhody LHS Obtížnější získávaní naměřených dat a jejich zpracování statistickým softwarem – QC- Expert, Anthill apod. Nutnost použít algoritmus LHS se zohledněním korelací Více výpočtů řešené úlohy (pro N simulací)

Výhody LHS značného snížení počtu simulací oproti standardní metodě Monte Carlo při zachování vysoké přesnosti odhadů zachovává pravděpodobnostní rozdělení přiřazené všem simulovaným proměnným zohledňuje korelovanost mezi proměnnými.

Závěr Využití metody LHS pro statické výpočty podzemních staveb může výrazně zpřesnit představu o předpokládaném chování posuzované konstrukce (zejména pak o pravděpodobnosti výskytu extrémních stavů).

Poděkování Tento příspěvek byl zpracován s podporou grantu TAČR TA „Pravděpodobnostní hodnocení vstupních parametrů horninového masivu a spolehlivostní analýza podzemních konstrukcí s využitím numerických metod“