Obchodní akademie, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Vzdělávací materiál/DUMVY_32_INOVACE_08B09 AutorRNDr. Marcela Kepáková Období vytvořeníProsinec 2012 Ročník/věková kategorie2. ročník Vyučovací předmět/klíčová slova Matematika Inverzní funkce, logaritmická funkce Anotace Prezentace je určena pro 2. ročník. Slouží k pochopení grafů inverzních a logaritmických funkcí a charakteristických vlastností logaritmické funkce v závislosti na základu logaritmické funkce.

FUNKCE Inverzní funkce

Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí 1.D(f -1 )=H(f) 2.Každému y z D(f -1 ) je přiřazeno právě to x z D(f), pro které je f(x)=y

Příklad 1 Je dána funkce f: y = 3x - 2 Zjistěte, zda k funkci f existuje funkce inverzní f -1. Zapište D(f) funkce f -1. Porovnejte grafy funkcí f a f -1.

Příklad 1 f: y = 3x – 2 prostá ( lineární funkce, graf přímka) f -1 : x = 3y – 2y = 1/3x + 2/3

Příklad 1 Podle čeho jsou souměrné grafy těchto funkcí? a) podle počátku souřadné soustavy b) podle osy x c) podle osy y d) podle osy I. A III. kvadrantu

Graf inverzní funkce Graf funkce a k ní inverzní je souměrně sdružené podle osy I. a III. kvadrantu (podle přímky y = x).

Příklad 2 Jsou dány funkce y = -x+4 y = 3 y = x 2 -2 y = x 3 y = -2/x Rozhodněte, ke kterým z nich existuje inverzní funkce.

Příklad 2 Jsou dány funkce y = -x+4 ano (prostá funkce) y = 3 ne (funkce není prostá) y = x 2 -2 ne (funkce není prostá) y = x 3 ano (prostá funkce) y = -2/x ano (prostá funkce)

Příklad 2 Jsou dány funkce y = 2x – 1 y = 1/2x – 3 y = -x+4 y = x - 4 Napište předpis pro inverzní funkci

Příklad 2 y = 2x – 1 y = 1/2x+1/2 y = 1/2x – 3 y = 2x + 6 y = -x+4 y = -x+4 y = x - 4 y = x+4

FUNKCE Logaritmická funkce

Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y=a x, a je libovolné kladné číslo různé od jedné. f: y=a x f -1 : x=a y Zapisujeme y=log a x

Příklad 1 Sestrojte graf funkce y = log 2 x Využijte k sestrojení graf funkce y = 2 x a znalosti vlastnosti grafu inverzní funkce.

Příklad 2 Sestrojte grafy funkce y = log 1/2 x

Vlastnosti logaritmické funkce a>1 D(f)=(0, ) H(f)=R rostoucí monotónní prostá není omezená nemá maximum, nemá minimum není sudá, není lichá f(1)=0

Vlastnosti logaritmické funkce 0<a<1 D(f)=(0, ) H(f)=R klesající monotónní prostá není omezená nemá maximum, nemá minimum není sudá, není lichá f(1)=0

Příklad 3 Rozhodněte, která z uvedených čísel jsou kladná log 0,5 6 log 7 8 log 0,5 0,5 log log 3 0,3 -log 14 11

Řešení Rozhodněte, která z uvedených čísel jsou kladná log 0,5 6 < 0 log 7 8 > 0 log 0,5 0,5 > 0 log > 0 log 3 0,3 < 0 -log 14 11< 0

Příklad 4 Najděte všechna reálná x, pro která platí: log 2 x > log 2 4 log 0,5 x > log 0,5 2 log 3 x > log 3 5 log x 3 < log x 11

Řešení Najděte všechna reálná x, pro která platí: log 2 x > log 2 4 x > 4 log 0,5 x > log 0,5 2x < 2 log 3 x > log 3 5 x > 5 log x 3 1

Příklad 5 Rozhodněte, které z uvedených výroků jsou pravdivé log 3 5 < log 3 8 log 0,5 7 < log 0,5 8 log 3 10 < log 0,3 10 log 0,4 7 < log 0,4 6 log 3 1 > log 3 10 Log 0,8 11 > log 0,8 10

Řešení Rozhodněte, které z uvedených výroků jsou pravdivé log 3 5 < log 3 8 pravdivý výrok log 0,5 7 < log 0,5 8 nepravdivý výrok log 3 10 < log 0,3 10 nepravdivý výrok log 0,4 7 < log 0,4 6 pravdivý výrok log 3 1 > log 3 10 nepravdivý výrok log 0,8 11 > log 0,8 10 nepravdivý výrok

Příklad 6 Sestrojte graf funkce y = log 2 (x+2)

Příklad 7 Sestrojte graf funkce y = log 2 (x-1)

Příklad 8 Sestrojte graf funkce y = log 2 x+2

Příklad 10 Sestrojte graf funkce y = log 2 x - 1

Příklad 11 Sestrojte graf funkce y =│log 2 x│

Příklad 11 Sestrojte graf funkce y = log 2 │x│

Příklad 12 D(f) logaritmické funkce je D(f)=(0, ∞ ) Logaritmovat lze pouze čísla větší než 0 Určete D(f) logaritmické funkce: y= log(x+3) x+3 > 0 x > -3 D(f) = (-3,∞)

Příklad 13 Určete D(f) logaritmické funkce: y= log(-x) -x > 0 x < 0 D(f) = (-∞,0)

Zdroje Function Graph. (accessed Jan 01, 2013). Příklady z vlastní databáze