Simulace teplotních cyklů metodou konečných prvků Jakub Jeřábek Petr Jůn

Motivace: teplotní cykly v betonu Ověření správnosti metod experimentálního zkoušení betonu vycházejících z empirie (ohřívací cyklus – x hodin při pokojové teplotě a chladící cyklus – 6 hodin v mrazničce. Porovnání výsledků experimentálních metod a numerického řešení pomocí 2 – D modelu. Sledování vlivu cyklického zatížení teplotou na strukturu betonu, na pevnostní charakteristiky betonu. Použití získaných charakteristik při následném modelování deformačních a napjatostních stavů v reálné konstrukci, zatížené opakovanými teplotními změnami v průběhu její životnosti.

Sledované parametry a závislosti: Zkoumané vzorky mají tvar kužele o rozměrech d = 0,15 m, h = 0,30 m. Jedná se o standardně užívané vzorky pro analýzu materiálových charakteristik betonu. Stanovení doby ohřátí, resp. ochlazení ohřátí 0°C - 20°C (ΔT = 20°C), resp. ochlazení 20°C - (-20)°C (ΔT = 40°C) sledovaných vzorků. Sledování vybraných kontrolních bodů ve středu vzorku. Porovnání doby ohřívání, resp. doby chladnutí sledovaných vzorků v závislosti na materiálu. Sledování a porovnání doby ohřátí, resp. ochlazení pro různé typy a hustoty sítí na vzorcích. Sledování a porovnání doby ohřátí, resp. ochlazení pro různé teplotní spády ( ΔT) - vzorek, okolní prostředí.

Tabulka materiálových charakteristik podle druhu betonu: Beton hutný (A) Škvárobeton (B) Pórobeton (C) h[m]0,30,30,3 d[m]0,150,150,15 ρ[kg/m 3 ] c[J/(kg*K)] λ[W/(m*K)]1,30,690,19 V[m 3 ]0,0050,0050,005

Fyzikální a matematický problém: Distribuce tepla: Kondukce – vedení: Šíření tepla na hranici vzduch – beton a v betonu samotném. Závisí na tepelné vodivosti, resp. tepelném odporu, resp. součiniteli prostupu tepla. Do tepelného odporu je nutné započítat tzv. odpor při přestupu tepla. Odpor při přestupu tepla je vyjádřen jako kde α i je součinitel přestupu tepla. Tato hodnota představuje změnu tepelného odporu v důsledku vytvoření tenké vzduchové vrstvičky na rozhraní beton – vzduch (podrobněji viz. okrajové podmínky). kde α i je součinitel přestupu tepla. Tato hodnota představuje změnu tepelného odporu v důsledku vytvoření tenké vzduchové vrstvičky na rozhraní beton – vzduch (podrobněji viz. okrajové podmínky). Konvekce – proudění: Pro řešený problém nenastává, vzduch je v klidu. Radiace – záření: Pro řešený problém není podstatná, závisí na T 4 a referenčním záření černého tělesa. Pro teploty, se kterými pracujeme je vliv čtvrté mocniny zanedbatelný (referenční záření je velmi malé).

Tepelný tok: kde první člen vyjadřuje vliv rozdílu teplot a druhý člen vliv rozdílu vlhkostí. Pro řešený problém změna tepelného toku v důsledku rozdílu vlhkostí nenastává (vlhkost je konstantní), tedy Jedná se o nestacionární vedení tepla, teplota je funkcí polohy a času. Jedná se o nestacionární vedení tepla, teplota je funkcí polohy a času. Obecná rovnice vedení tepla: kde Aproximace průběhu teplot: T nahrazujeme funkcí u. Ta musí splňovat okrajové podmínky, musí být spojitá a musí být v oblasti spojitě derivovatelná (řeší pouze závislost na poloze).

Okrajové podmínky problému: Jedná se okrajové podmínky na tzv. hraniční parabolické hranici. Platí obecně pro všechny směry. Okrajové podmínky se v důsledku vytvoření přechodové vzduchové vrstvy změní a přejdou na tzv. Newtonovi okrajové podmínky. Např. pro x = l bude Např. pro x = l bude pro velká α i formálně dělíme a přejdeme k limitě, pak u = h 2 (t). Pro x = 0 bude Pro x = 0 bude

Řešení problému pomocí MKP: model a postup Jako modelové náhrady válcového vzorku je použito svislého osového řezu tzn. obdélníkový 2 – D model. Ve vodorovných řezech je průběh teplot osově symetrický. Z obecné rovnice vedení tepla odpadne souřadnice z. Úloha lze také řešit jako rotačně symetrická (také 2 – D, ale třetí rozměr je obsažen v transformaci do cylindrických souřadnic). Vzhledem k požadované přesnosti výpočtu a ke srovnávacímu charakteru výpočtu postačuje řešení pomocí rovinného modelu.

Volba sítě: Pro hlavní výpočet je zvolena čtvercová síť (představa náhrady reálného čtyřúhelníka čtvercem o ploše 4 a se souřadným systémem – s,t v těžišti). Bázové funkce (v uzlu mají hodnotu 1, jinak 0) mají bilineární průběh (zborcená plocha – hyperbolický paraboloid): Pro čtvercový prvek je jakobián transformace konstantní (vyjadřuje změnu elementárního objemu po transformaci). Pro čtvercový prvek je jakobián transformace konstantní (vyjadřuje změnu elementárního objemu po transformaci). Pro srovnání jsou použity různé hustoty sítí a různé typy sítí. Trojúhelníková síť používá jako bázové funkce tzv. plošné souřadnice, průběh bázových funkcí je lineární (jehlan).

Aproximace průběhu teplot: T nahrazujeme funkcí u. Ta musí splňovat okrajové podmínky, musí být spojitá a musí být v oblasti spojitě derivovatelná je nezávislá na čase (diferenční náhradě). Funkci u určíme jako lineární kombinaci bázových funkcí: Touto funkcí nahradíme průběh teplot v materiálu v závislosti na poloze. Vložení časové závislosti do problému, provedeme tzv. časovou diskretizací.

Řešení: Řešením rovnice nebo ve tvaru resp. integrací per partes, obdržíme matici vodivosti K a matici kapacity C. Při řešení používáme slabé řešení tzn. stačí nám přiblížení ke správnému řešení s určitou vahou, zavádíme váhovou funkci v. Platí bilance kde q je teplo dodané do soustavy zvenku a u je vektor zobecněných uzlových posunutí.

Časová diskretizace se provádí nahrazením členu diferencí resp. z důvodu závislosti průběhu teploty na čase (MKP řeší v běžných případech pouze stacionární problémy, výjimka je řešení problému na časoprostorové oblasti). Řešení se provádí metodou sítí (bilance v uzlových bodech), opakováním stacionární úlohy. Časová diskretizace pomocí diferenční náhrady je nezávislá na poloze (funkci u).

Použité hustoty sítí

Použité typy sítí

Sledování průběhů ochlazení v čase pro vybranou síť

Grafické porovnání průběhu teplot v závislosti na čase pro sledované materiály

Grafické porovnání průběhu teplot v závislosti na teplotním spádu pro sledované materiály

Závěr Řešení pomocí numerického modelu prokázalo, že šestihodinový zmrazovací cyklus je dostatečný (vzorek kompletně promrzne) Při předpokládané délce cyklu dosahuje model přijatelné odchylky, průběh teploty v čase se při přiblížení k mezní teplotě, vinou chyby metody, chová asymptoticky. Vyšetřované závislosti zmíněné v úvodní části vyplývají ze srovnávacích grafů (porovnání pro různé hustoty, typy sítí a různé teplotní spády) Průběhy teplot v čase jsou přímo úměrné teplotním spádům.